大学物理（下）笔记

部分常用物理常量的计算值

wr按：
这一部笔记，主要记录学习过程中的一些想法，以便后续查看时能回忆起当时的理解，并加深印象。实际上并不全面，只是自己想到的一些东西。其中的光学篇，由于在高中时期没有接触过，因此难免在理解上出现一些问题。

$Chapter9$ 恒定磁场

毕奥-萨伐尔定律

  磁场和电场在很多性质上是有共性的，很多时候可以拿它们两个相互对比。
  恒定磁场最基础的公式是毕奥-萨伐尔定律： $$\textrm{d}\boldsymbol B=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{I\textrm{d}\boldsymbol l\times\boldsymbol e_r}{r^2}\tag{9.1}$$

  $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\mathrm{T\cdot m/A}$，这个常数可以记忆一下。基于此，我们能够计算到电流为$I$的长直载流导线在距离其为$r$处激发的磁场为 $$B=\cfrac{\mu_0I}{4\pi r}(\cos \varphi_1-\cos\varphi_2)\tag{9.2}$$

  其中$\varphi_1,\varphi_2$是该点与导线两端的连线和导线所成的夹角。无限长直载流导线激发的磁场，其实就是$(9.1)$式在$\varphi_1=0,\varphi_2=\pi$时的情况： $$B=\cfrac{\mu_0I}{2\pi r}\tag{9.3}$$

  通过毕奥-萨伐尔定律，还能够算得半径为$R$的圆环电流$I$在其轴线上坐标为$x$的点处产生的磁场大小 $$B=\cfrac{\mu_0I}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\tag{9.4}$$

  这个能够自行推导，感觉就足够了，倒也不是特别好记。

磁偶极子

  磁偶极子可以认为是一个平面环形电流，只有当这个环的线度在问题中可以忽略时，才能把它作为磁偶极子处理。
  这很容易让我们联想到电偶极子。两者之间的对比如下：

  电偶极子在电场中受到力矩作用，达到稳定平衡状态时电矩与电场方向相同，能够解释有极分子的取向极化；磁偶极子在磁场中受到力矩作用，达到稳定平衡状态时磁矩与磁场方向相同，能够解释顺磁质的磁化。

磁场的高斯定理与安培环路定理

  磁场的高斯定理 $$\oint_S \boldsymbol{B\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0\tag{9.5}$$

  说明磁场是无源场，这在本质上是因为不存在所谓“磁单极子”或者叫做“磁荷”的东西。而静电场是由“电荷”所激发的，所以静电场是有源场： $$\oint_S \boldsymbol{E\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\cfrac{q}{\varepsilon_0}\tag{9.6}$$

  在恒定磁场中，安培环路定理也经常被应用： $$\oint_L\boldsymbol{B\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_0I\tag{9.7}$$

洛伦兹力与安培力

  主要想谈谈其矢量式中各个量摆放顺序的问题。
  洛伦兹力 $$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v\ \times B}\tag{9.8}$$

  安培力 $$\boldsymbol{F}=I\boldsymbol{L\ \times B}\tag{9.9}$$

  观察$(9.8)$式和$(9.9)$式，发现它们都能写成“电量·运动量×场量”的形式。其中粗体为矢量。

磁化强度$\boldsymbol{M}$与磁场强度$\boldsymbol{H}$

  我们通常习惯于用磁感应强度$\boldsymbol{B}$来描述磁场，用电场强度$\boldsymbol{E}$来描述电场。当电磁场中存在介质的时候，这种描述方法是不好的。
  磁化强度$\boldsymbol{M}$与磁场强度$\boldsymbol{H}$是为了研究磁介质的磁化，在磁感应强度$\boldsymbol{B}$的基础上上又增加的两个磁场量。在研究电介质的极化时也曾引入电极化强度$\boldsymbol{P}$和电位移矢量$\boldsymbol{D}$.下面对这些量进行对比分析。

磁化强度$\boldsymbol{M}$与电极化强度$\boldsymbol{P}$

  磁化强度$\boldsymbol{M}$的定义与电极化强度$\boldsymbol{P}$的定义式非常相似：

$$\boldsymbol{M}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n\boldsymbol{m}_ i }{\Delta V}\qquad \boldsymbol{P}=\cfrac{\sum\limits _{i=1}^n\boldsymbol{p}_i }{\Delta V}\tag{9.10}$$

  磁化强度$\boldsymbol{M}$描述磁介质受到磁化的情况，而磁介质磁化时伴有磁化电流$I'$.所以这两者还是有联系的：
$$\oint_ L\boldsymbol{M\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol l=\sum I'\tag{9.11}$$

  其中，$\sum I'$表示穿过环路$L$的所有磁化电流之和。
  类似地，电极化强度$\boldsymbol{P}$描述电介质在外电场中产生的极化情况，而电介质极化时会产生束缚电荷$q'$.这两者有如下的联系： $$\oint_ S\boldsymbol{P\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol S=-\sum q'\tag{9.12}$$

  其中，$\sum q'$表示高斯面$S$内所有的束缚电荷之和。式$(9.11)$与$(9.12)$在形式上非常相似，需要注意的是式$(9.12)$多出了一个负号。

磁场强度$\boldsymbol H$和电位移矢量$\boldsymbol D$

  磁场强度$\boldsymbol{H}$，给我带来的直观感受是，它是磁感应强度$\boldsymbol{B}$在磁介质存在情况下，为了保证某种连续性而定义的表征磁场的量。这是它的定义式 $$\boldsymbol{H}=\cfrac{\boldsymbol B}{\mu_r\mu_0}=\cfrac{\boldsymbol B}{\mu}\tag{9.13}$$

  可以看到，连接磁场强度$\boldsymbol H$与磁感应强度$\boldsymbol B$的桥梁是磁导率$\mu$.
  在没有磁介质的情况下，磁感应强度$\boldsymbol{B}$在空间内是连续的，因此磁感线也是连续的。但是，在有磁介质的情况下，磁感应强度矢量$\boldsymbol{B}$将会失去它的空间连续性，也就是说，$\boldsymbol B$会在不同磁介质的交界处发生跳变。这一跳变是不同的磁导率造成的。不过这个时候$\boldsymbol H$却具有空间连续性，因此用它描述磁场是比较理想的。
  当然，对于电场强度$\boldsymbol E$和电极化强度$\boldsymbol D$来说，上面的性质也是成立的。在空间中存在电介质的情况下，$\boldsymbol E$的空间连续性将失去，$\boldsymbol D$的空间连续性将被保留。教材中对于$\boldsymbol D$的引入是下式： $$\boldsymbol D=\varepsilon _0\boldsymbol E+\boldsymbol P\tag{9.14}$$

  我认为这样的引入很不妥当。可以给出类似式$(9.13)$的定义： $$\boldsymbol D=\varepsilon_ r\varepsilon_ 0\boldsymbol E=\varepsilon \boldsymbol E\tag{9.15}$$

  从式$(9.15)$能够看到，电位移矢量$\boldsymbol D$与电场强度$\boldsymbol E$之间是通过介电常数$\varepsilon$联系起来的。
  此外，我们发现磁场强度$\boldsymbol H$与磁化强度$\boldsymbol M$具有相同的量纲，实际上也有积分式 $$\oint_ L\boldsymbol{H\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol l=\sum I\tag{9.16}$$

  其中，$\sum I$表示穿过环路$L$的所有传导电流之和。我们大致能够得出这样的结论：$\boldsymbol H$描述的是空间某点本来的磁场，$\boldsymbol M$描述这一点由磁介质产生的磁场，$\boldsymbol B$是由前面两个磁场叠加得到的、描述该点实际磁场情况的物理量。这正如式$(9.17)$所描述的那样。 $$\oint_ L(\boldsymbol H+\boldsymbol M)\ \boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l=\sum(I+I')=\oint _L \cfrac{\boldsymbol B}{\mu_0}\boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{9.17}$$

  类似地，在存在电介质的电场中，我们也有式$(9.18)$和式$(9.19)$. $$\oint_ S\boldsymbol{D\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol S=\sum q\tag{9.18}$$

$$\oint_ S(\boldsymbol D-\boldsymbol P)\ \boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol S=\sum(q+q')=\oint _S \varepsilon_0\boldsymbol E\boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{9.19}$$

  式$(9.18)$中，$\sum q$表示高斯面$S$内所有的自由电荷之和。

磁化电流面密度

  首先应指出，电流面密度不是电流密度。通常意义上的电流$I$单位是$\mathrm{A}$，流过一根直线，沿着电流垂面方向截得一个点。电流流过一个平面时，沿着电流垂面方向截得一条直线，因此用电流面密度$i$描述，单位$\mathrm{A/m}$.电流流过一个立体时，沿电流垂面方向截得一个平面，因此用电流密度$j$描述，单位$\mathrm{A/m^2}$.
  磁化电流是上面的第二种，用磁化电流面密度$i_\mathrm{m}$描述。一般要求$i_\mathrm{m}$有两种思路，第一种是根据定义： $$i_\mathrm{m}=\cfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}L}=\cfrac{I}{L}\tag{9.20}$$

  其中$i_\mathrm{m}=\cfrac{I}{L}$只适合于电流沿$L$均匀分布的情况。如果题目中给出了，或者可以求得磁化强度$\boldsymbol M$，也可以采用第二种求法： $$\boldsymbol i _\mathrm{m}=\boldsymbol{M\ \times e} _\mathrm{n}\tag{9.21}$$

  其中$\boldsymbol e_\mathrm{n}$是磁介质表面法向单位矢量。此时磁化电流面密度的大小$i_\mathrm{m}=M$.

$Chapter10$ 电磁感应

感应电动势

  电源电动势，是非静电场场强$\boldsymbol E_\mathrm{k}$从负极到正极的曲线积分： $$\mathscr{E}=\int _-^+\boldsymbol E _\mathrm{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{10.1}$$

  比如动生电动势的情况下，就有$\boldsymbol E _ \mathrm{k}=\boldsymbol{v\times B}$，此时的非静电力是洛伦兹力。有些情况这种非静电力分散在回路的各个角落，分不清电源正负极，那么 $$\mathscr{E}=\oint _L\boldsymbol E _\mathrm{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{10.2}$$

  沿着闭合回路积分即可。动生电动势中，如果金属导体本身构成了回路，就适用式$(10.2).$感生电动势也属于这种情况，非静电场是感应电场，感应电动势分布在导体的各个部分。
  感应电场具有有旋场的性质，是一个非保守场，当然不能引入电势的概念。但是，对于感应电场中的导体，我们仍然可以研究导体上$a$点与$b$点的电势差是多少，因为这里的“电势”是针对导体内部电场而言的，由于导体电阻的压降，其内部的电场仍然是一个保守场。
  不过，所求的电动势如果是感应电动势的话，除了电动势的定义，也不要忘掉唯一真神——法拉第电磁感应定律： $$\mathscr{E} _ \mathrm i=-\cfrac{\mathrm d\varPhi}{\mathrm dt}\tag{10.3}$$

  如果导体构成的回路不随时间变化，即$S$是常量，那么式$(10.3)$也可以写成： $$\mathscr E _ \mathrm i =-\int \cfrac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\boldsymbol\cdot\mathrm d\boldsymbol S\tag{10.4}$$

  这个在感生电动势中使用得比较多。

磁场能量

  和电场一样，磁场本身也具有能量。

麦克斯韦方程组（Maxwell's Equations）

  麦克斯韦方程组的前两式表示了电场、磁场本身的特性。电场有源，磁场无源： $$\oint _ S\boldsymbol{D\cdot}\mathrm d\boldsymbol S=\sum q=\int _ V \rho\mathrm dV\tag{10.5}$$

$$\oint _ S\boldsymbol{B\cdot}\mathrm d\boldsymbol S=0\tag{10.6}$$

  式Ⅲ是经典的“磁生电”： $$\oint _ L \boldsymbol{E\cdot}\mathrm d\boldsymbol l=-\int _ S \cfrac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\boldsymbol\cdot \mathrm d\boldsymbol S\tag{10.7}$$

  个人感觉麦克斯韦方程组的核心是位移电流概念的引入。空间中电位移矢量的变化$\cfrac{\partial\boldsymbol D}{\partial t}$（单位$\mathrm{A/m^2}$）具有和传导电流$I$一样的磁效应，从而修正了安培环路定理： $$\oint _ L\boldsymbol{H\cdot}\mathrm d\boldsymbol l=I+I _ d=\int _ S\left(\boldsymbol j+\cfrac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\right)\boldsymbol\cdot\mathrm d\boldsymbol S\tag{10.8}$$

  这是方程组的式Ⅳ，定量描述“电生磁”。
  同时，注意位移电流是真实存在的。意思不是说位移电流是一种真正意义上的电流，这是一个比较抽象的事情。

$Chapter 11$ 振动与波动

频率相同、方向垂直的简谐运动合成

  运动可以用参数方程描述： $$\begin{cases} x=A _ 1\cos(\omega t+\varphi _ 1)\\ y=A _ 2\cos(\omega t+\varphi _ 2)\end{cases}\tag{11.1}$$

  我们已经知道消去$t$后的运动方程是 $$\cfrac{x^2}{A _1^2}+\cfrac{y^2}{A _2^2}-\cfrac{2xy}{A _1A _2}\cos(\varphi _2-\varphi _1)=\sin^2(\varphi _2-\varphi _1)\tag{11.2}$$

  可以是这样推导的。记$\theta _ 1=\omega t+\varphi _1,\theta _2=\omega t+\varphi _2$. $$\begin{aligned}\sin^2(\varphi _2-\varphi _1)&=\sin^2(\theta _2-\theta _1)\\ &=(\sin\theta _2\cos\theta _1-\cos\theta _2\sin\theta _1)^2\\ &=(1-\cos^2\theta _2)\cos^2\theta _1+(1-\cos^2\theta _1)\cos^2\theta _2-2\cos\theta _1\cos\theta _2\sin\theta _1\sin\theta _2\\ &=\cos^2\theta _1+\cos^2\theta _2-2\cos \theta _1\cos\theta _2(\cos\theta _1\cos\theta _2+\sin\theta _1\sin\theta _2)\\ &=\cfrac{x^2}{A _1^2}+\cfrac{y^2}{A _2^2}-\cfrac{2xy}{A _1A _2}\cos(\theta _2-\theta _1)\\ &=\cfrac{x^2}{A _1^2}+\cfrac{y^2}{A _2^2}-\cfrac{2xy}{A _1A _2}\cos(\varphi _2-\varphi _1)\end{aligned}\tag{11.3}$$

阻尼振动

  阻尼振动的方程为 $$\cfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm dt^2}+2\beta\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+\omega _0^2x=0\tag{11.4}$$

  书上只说明了在弱阻尼情况下$(\beta < \omega _0)$的通解： $$x=A _0\mathrm{e}^{-\beta t}\cos\left(\sqrt{\omega _0^2-\beta^2}t+\varphi _0\right)\tag{11.5}$$

  实际上我们可以对微分方程$(11.4)$进行求解。它的特征方程是： $$\lambda^2+2\beta\lambda+\omega _0^2=0\tag{11.6}$$

  这是一个一元二次方程，判别式$\Delta=4(\beta^2-\omega _0^2)$.
  在弱阻尼$(\beta < \omega _0)$情况下，$\Delta < 0$，记$\omega=\sqrt{\omega _0^2-\beta^2}$，式$(11.6)$有共轭复根 $$\lambda _{1,2}=-\beta\pm\omega \mathrm{i}\tag{11.7}$$

  从而得到$(11.4)$的解为$x=\mathrm{e}^{-\beta t}(C _1\cos\omega t+C _2\sin\omega t)$.这一形式同式$(11.5)$.
  在过阻尼$(\beta > \omega _0)$情况下，$\Delta > 0$，记$\omega'=\sqrt{\beta^2-\omega _0^2}$，式$(11.6)$有两根 $$\lambda _{1,2}=-\beta\pm\omega'\tag{11.8}$$

  此时运动方程$(11.4)$的解的形式为 $$x=\mathrm e^{-\beta t}(A _1\mathrm e^{\omega' t}+A _2\mathrm e^{-\omega' t})\tag{11.9}$$

  在临界阻尼$(\beta = \omega _0)$情况下，$\Delta =0$，此时$(11.6)$有重根 $$\lambda _{1,2}=-\beta\tag{11.10}$$

  也可以由此得到运动方程$(11.4)$的解为 $$x=\mathrm e^{-\beta t}(A _0+A _1t)\tag{11.11}$$

  可以统一$(11.4)$的解的形式为$x=\mathrm e^{-\beta t}f(t)$.临界阻尼情况下的$f(t)$是多项式，过阻尼情况下的$f(t)\sim \mathrm e^{|\omega'|t}$ 是指数阶，所以临界阻尼衰减得比过阻尼快。

波的能量

  机械波$y(x,t)=A\cos[\omega(t-\cfrac{x}{u})+\varphi]$在密度为$\rho$的介质中传播时，在任意时刻，某一质元的动能和势能都是相等的。
  波的平均能量密度$\overline w=\cfrac{1}{2}\rho A^2\omega^2$.
  波的平均能流密度$I=\overline wu=\cfrac{1}{2}\rho A^2\omega^2u$.

多普勒效应

  当波源（Source）和接收器（Receiver）以接近速度$v _S$和$v _R$相对运动时，有 $$\nu _R=\cfrac{u+v _R}{u-v _S}\nu _S\tag{11.12}$$

  这是机械波的多普勒效应，观测者体现在分子，波源体现在分母。其实为了方便记忆，可以将式$(11.12)$变形为式$(11.13)$： $$\cfrac{\nu _R}{u+v _R}=\cfrac{\nu _S}{u-v _S}\tag{11.13}$$

  接收器在左边，波源在右边。至于$v _R,v _S$前的符号，可以根据常识推断。
  如果是电磁波的多普勒效应，那就需要考虑相对论因素： $$\nu _R=\sqrt{\cfrac{c+v}{c-v}}\nu _S\tag{11.14}$$

  方便记忆，也可以变形为如下形式： $$\cfrac{\nu _R}{\sqrt{c+v}}=\cfrac{\nu _S}{\sqrt{c-v}}\tag{11.15}$$

其他想说的

  劲度系数分别为$k _1,k _2$的两根轻弹簧，首尾相连（串行连接）构成劲度系数为$\cfrac{k _1k _2}{k _1+k _2}$的弹簧。如果是把头与头相连、尾与尾相连（并行连接），则构成劲度系数为$k _1+k _2$的弹簧。

$Chapter 13$ 波动光学

  波动光学，由于之前并未过多接触，所以看起来公式量有些多。但其实也还好，每个知识点都记住一些个核心公式就好了，然后从这些比较核心的公式，以比较小的代价去推导其他的公式。
  这一章需要牢牢扣住光程差$\delta$这一个要点。光程差可以与相位差产生联系： $$\delta=\cfrac{\lambda}{2\pi}\Delta\varphi\tag{13.1}$$

  从而判断两束光波在某处的叠加情况。这一章的另外一个要点是近似处理。

双缝干涉（杨氏双缝干涉）

  距离为$d$的两个小孔，将它们看作两个初相位相同的光源，它们发出的光的强度在距离为$D$的屏幕上发生相干叠加。光程差： $$\delta=nr _1-nr _2\approx nd\sin\theta\tag{13.2}$$

  式$(13.2)$是双缝干涉的基本公式，约等号处使用了近似处理。可以由它推导其他公式。
  由于$\theta$很小，近似有$\sin\theta\approx\theta\approx\tan\theta=\cfrac{x}{D}$，其中$x$是干涉点到屏幕中心店的距离。将其与代入式$(13.2)$，就有： $$\delta=nd\sin\theta\approx\cfrac{ndx}{D}\tag{13.3}$$

  由$Chapter11$的内容，能够比较容易地想到下面的情况： $$\Delta\varphi=\begin{cases}2k\pi&\text{合振幅极大},\\ (2k-1)\pi&\text{合振幅极小}. \end{cases}\tag{13.4}$$

  所以，结合式$(13.1)$，得到 $$\delta=nd\sin\theta=\begin{cases}k\lambda& \text{光强极大},\\\left (k-\cfrac{1}{2}\right)\lambda& \text{光强极小}.\end{cases}\tag{13.5}$$

  显然光强极大对应明纹，光强极小对应暗纹。
  除了上述方法，也可以只记下面的公式： $$I _\theta=I _0\cos^2\beta\tag{13.6}$$

  其中的$\beta=\cfrac{\pi nd\sin\theta}{\lambda}$.一般实验都在$n\approx 1$的空气中进行，$\beta=\cfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda}$.显然，$\cos^2\beta=1$对应明纹，$\cos^2\beta=0$对应暗纹。

分振幅干涉

  先考虑等倾干涉，同样可以记住一个基本公式： $$\delta=2nd\cos\gamma\tag{13.7}$$

  实际如果两个反射面中只有一处发生半波损失，$\delta$还应该加上$\cfrac{\lambda}{2}$.这个公式当然可以现场推导，但是花费的时间会比较多，建议记住。可以通过这个推导明暗纹条件。
  等厚干涉就是对每一个厚度$d$，都考虑式$(13.7)$，每个厚度对应相同的一个光程差$\delta$.
  对于等倾干涉来说，$\gamma$是一个变量，$\delta$随$\gamma$的变化而不同，因此相同$\gamma$的点（一个一个同心圆）对应相同的$\delta$，从而干涉情况相同。对于等厚干涉来说，$\gamma=0$（即只考虑正入射），但是$d$是变量，$\delta$随$d$的变化而不同，因此相同$d$的点（一系列平行线）对应相同的$\delta$，从而干涉情况相同。

单缝衍射（单缝夫琅禾费衍射）

  公式的推导略显复杂，我们只需要记住结果：产生与狭缝平行的干涉条纹，强度为 $$I _\theta=I _0 \left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\tag{13.8}$$

  如果实验在$n=1$的环境下进行，$\alpha=\cfrac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$.如果$n\neq 1$也一样，$\lambda$代表在介质中的波长。根据该式可以推出各暗纹（极小）的位置，明纹（极大）的位置也可以近似地计算。

多缝衍射

  多缝衍射需要同时考虑干涉和衍射的结果，光强公式为： $$I _\theta=I _0\left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\left(\cfrac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)^2\tag{13.9}$$

  $\alpha$是和衍射有关的参数，$\beta$是和干涉有关的参数。实际上，当$N=2$时，式$(13.9)$变为 $$I _\theta=4I _0\left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cos^2\beta\tag{13.10}$$

  这个和双缝衍射的$I _\theta=I _0\left(\cfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cos^2\beta$具有相同的形式。

$\boxed{\mathbb{The\ End}.}$