1 绪论
《信号与线性系统》这门课全程依赖电路知识，以《电路理论》初级篇为先导，其内容相当于电路理论中部分内容的详细拓展。其中傅里叶变换与拉普拉斯变换等涉及较为深入的数学知识，给学习带来了比较大的难度。
一个系统存在着激励 $e(t)$ 和响应 $r(t)$。
系统具有的性质¶
线性性¶
一个系统具备线性性，其抽象表述为：若 $e(t)\rightarrow r(t)$，则 $k _ 1e _ 1(t)+k _ 2e _ 2(t)\rightarrow k _ 1r _ 1(t) +k _ 2r _ 2(t)$。
非时变性¶
一个系统具备非时变性（时不变性），其抽象表述为：若 $e(t)\rightarrow r(t)$，则 $e(t-t _ 0)\rightarrow r(t-t _ 0)$。
因果性¶
一个系统在 $t$ 时刻的响应，只和 $t$ 时刻及其之前的时刻的激励有关。
上面的三个性质中，因果性是最好判定的。只需看 $r(t)$ 的表达式即可。线性性也是好判定的，直接根据抽象定义，构造两个激励 $e _ 1(t)$ 和 $e _ 2(t)$ 并判断是否具有该性质即可。
关于时不变性的判定，可以构造两个激励 $e _ 1(t)$ 和 $e _ 2(t)$，其中 $e _ 2(t)$ 是 $e _ 1(t)$ 平移得到的，从而转化为判定：若 $e _ 1(t)\rightarrow r _ 1(t)$，是否有 $e _ 2(t)\rightarrow r _ 2(t)$。
关于时不变性的正确判定方法
用一个习题中碰到的例子 $r(t)=e(1-t)$ 来说明。这个系统是不具备时不变性的，具体可以按照下面的方式判定：
记 $e _ 1(t)\rightarrow e _ 1(1-t) = r _ 1(t)$，$e _ 2(t)=e _ 1(t-t _ 0)$。那么 $r _ 2(t)=e _ 2(1-t)=e _ 1(1-t-t _ 0)=r _ 1(t+t _ 0)\neq r _ 1(t-t _ 0)$。因此，若 $e(t)\rightarrow r(t)$，无法得到 $e(t-t _ 0)\rightarrow r(t-t _ 0)$。
之所以单独强调时不变性，是因为产生过一个莫名其妙的错误做法：
将原式中的 $t$ 换成 $t-t _ 0$ 可得 $r(t-t _ 0)=e(1-t+t _ 0)$，记作式 $(1)$。所以对于一个激励 $e(t-t _ 0)$，根据原式，它产生的响应应该是 $e(1-t+t _ 0)$，也即 $r(t-t _ 0)$。所以系统具备时不变性。
这种错误做法看起来有点像是循环论证，但是它却能够正确地判断 $r(t)=\varepsilon(t)e(t)$ 不具备时不变性。所以花了一个下午的时间总结出时不变性的正确判定方法，并且特意强调，以免以后再落入这个陷阱。
各种各样的响应¶
古典法¶
古典法依据微分方程的数学解形式来定义系统的不同响应。一个 $n$ 阶线性系统的微分方程可以用下面的式子来表示： $$\cfrac{\mathrm d^nr}{\mathrm dt^n}+a _ {n-1}\cfrac{\mathrm d^{n-1}r}{\mathrm dt^{n-1}}+\cdots+a _ 1\cfrac{\mathrm dr}{\mathrm dt}+a _ 0r=b _ m\cfrac{\mathrm d^me}{\mathrm dt^m}+b _ {m-1}\cfrac{\mathrm d^{m-1}e}{\mathrm dt^{m-1}}+b _ 1\cfrac{\mathrm de}{\mathrm dt}+b _ 0e\tag{1.1}$$
这个微分方程对应的齐次方程的通解（通过初值条件确定待定系数），被称作系统的自然响应（自由响应），记作 $r _ h(t)$。微分方程对应的特解（也通过初值条件确定了待定系数）被称作系统的受迫响应，记作 $r _ p(t)$。
关于 $r _ p(t)$ 和 $r _ h(t)$ 之间的关系
回顾一下高数里求解微分方程的过程。
- 通解 $r _ h(t)$ 往往带有待定系数 $C _ i$，但是特解 $r _ p(t)$ 是不带的。
- 通解 $r _ h(t)$ 中的系数 $ C _ i$ 是将系统的初值 $r^{(n)}(0^-)$ 代入全响应 $r(t) = r _ h(t) + r _ p(t)$ 后解出来的。
这又说明了两点：
- 系统的自由响应 $r _ h(t)$ 受系统初值的影响，但是受迫响应 $r _ p(t)$ 不受初值影响。
- 不能绕开 $r _ p(t)$ 而直接求 $r _ h(t)$。要想得到 $r _ h(t)$，需要先解出 $r _ p(t)$。
近代时域分析法¶
近代的时域分析法就把响应分为零输入响应 $r _ {zi}(t)$ 和零状态响应 $r _ {zs}(t)$。这一点同电路理论中的概念。
$r _ {zi}(t)$ 和 $r _ {zs}(t)$ 的求解就没有先后顺序的制约。
全响应¶
这些响应与全响应 $r(t)$ 之间的关系是： $$r _ h(t)=r _ {zi}(t)+r _ {zs}(t)=r _ h(t)+r _ p(t)\tag{1.2}$$