2 连续时间系统的时域分析

基于冲激函数的信号分解

  这一章首先证明了下面的公式： $$f(t)=\int _ 0^tf(\tau)\delta(t-\tau)\mathrm d\tau=\int _ {-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)\mathrm d\tau\tag{2.1}$$

  式 $(2.1)$ 在书上是通过极限逼近的思想得到的，当然也可以直接利用冲激函数的筛分特性得到。

  这说明一个信号可以分解成多个多个冲击信号的积分。

卷积积分

卷积积分引出

  基于式 $(2.1)$，推导出了一个通过 $e(t)$ 迅速求得 $r(t)$ 的有效办法。记一个系统的单位冲击响应为 $h(t)$ ，即 $\delta(t)\rightarrow h(t)$。由于线性系统的时不变性、齐次性和叠加性，可得 $$\displaystyle\int _ 0^te(t)\delta(t-\tau)\mathrm d\tau\rightarrow \int _ 0^te(t)h(t-\tau)\mathrm d\tau\tag {2.2}$$

关于单位冲击响应 $h(t)$

  $h(t)$ 是激励为单位冲激函数 $\delta(t)$ 的零状态响应，这是 $h(t)$ 的定义。上段文字中“线性系统”四个字加粗，因为含有初始值（初始状态）的系统从定义上来说并不是线性系统。
  基于这两个原因，不难理解后文中 $(2.3)$ 求得的 $r(t)$ 只是零状态响应。

  根据式 $(2.1)$ 知，式 $(2.2)$ 的左边就是 $e(t)$。那么式 $(2.2)$ 的右边当然就是对应的 $r(t)$ 了。因此，激励为 $e(t)$ 时，系统的响应可以通过下式求得： $$r(t) = \int _ 0^te(t)h(t-\tau)\mathrm d\tau\tag{2.3}$$

  式 $(2.3)$ 就是卷积积分，且这里求出来的 $r(t)$ 是零状态响应。

  如果可以知道一个系统的单位冲击响应 $h(t)$，根据式 $(2.3)$ 可以直接从激励得到响应，而不需要知道系统的其它细节。

卷积的定义

  卷积运算是一种抽象出来的运算，它的定义是： $$f(t) * g(t)=\int_ {-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\mathrm d\tau\tag{2.4}$$

卷积的性质

  和很多运算类似，卷积具有交换律、对加减法的分配律以及结合律。对于卷积结果进行微积分运算，有下列结论成立： $$\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}[u(t) * v(t)]=u(t) * \cfrac{\mathrm dv(t)}{\mathrm dt}=\cfrac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt} * v(t)\tag{2.5}$$

$$\int_ {-\infty}^t[u(x) * v(x)]\mathrm dx=u(t) * \left[\int_ {-\infty}^tv(x)\mathrm dx\right]=\left[\int_ {-\infty}^tu(x)\mathrm dx\right] * v(t)\tag{2.6}$$

  上面的式子当然可以推广到多个函数卷积的导数/积分，以及卷积结果的多阶导数/积分。

关于卷积微分、积分性质 $(2.5)(2.6)$ 的使用条件

  需要注意的是，$(2.5)$ 的使用没有限制条件，但是 $(2.6)$ 是不能随便使用的。这是因为在引入了奇异函数 $\varepsilon(t)$，$\delta(t)$，$\delta^\prime(t)$ 等后，几乎所有的真实信号函数都是无穷阶可导的，但是不是所有函数都可以执行变上限积分。
  在应用式 $(2.6)$ 时，至少需要满足以下 $2$ 个条件：

• 被积函数 $u(t) * v(t)$ 是可积的。

    比如等号左边不允许是 $\displaystyle\int_ {-\infty}^tx\mathrm dx$ 这种不收敛的反常积分。

• 积分号转移到等号右边的一个函数，这个函数也是可积的。

    比如使用 $(2.6)$ 的一半 $\displaystyle\int_ {-\infty}^t[u(x) * v(x)]\mathrm dx=u(t) * \left[\int_ {-\infty}^tv(x)\mathrm dx\right]$ 时，需要保证 $\displaystyle\int_ {-\infty}^tv(x)\mathrm dx$ 是存在的，即使 $\displaystyle\int_ {-\infty}^tu(x)\mathrm dx$ 可能并不存在。

  特别地，根据式子 $(2.5)(2.6)$，可以得到一个比较有用的结果： $$u(t) * v(t)=\cfrac{\mathrm du(t)}{\mathrm dt} * \int_ {-\infty}^tv(x)\mathrm d x\tag{2.7}$$

  上式还能互换 $u(t),v(t)$ 的地位，这里略去不写。

式 $(2.7)$ 使用的充要条件

  式 $(2.7)$ 的使用充要条件是 $\displaystyle\int_ {-\infty}^tv(x)\mathrm dx$ 存在，且 $\color{red}{\lim\limits_ {t\rightarrow -\infty}u(t) * v(t)=0}$。红色的式子也可以等价地表述为 $u(t) * v(t)=\displaystyle\int_ {-\infty}^t[u(x) * v(x)]^\prime\mathrm dx$。
  这是因为式 $(2.7)$ 可以看作是对式子 $u(t) * v(t)=u(t) * v(t)$ 两边分别运用 $(2.5)(2.6)$ 得到的，只不过等号右边选择了不同的函数进行微分、积分操作。需要注意的是，左边的 $u(t) * v(t)$ 在进行微分、积分后要能够还原出 $u(t) * v(t)$。如果先进行微分，那么： $$\int_ {-\infty}^t\cfrac{\mathrm d[u(x) * v(x)]}{\mathrm dx}\mathrm dt=u(t) * v(t)-u(-\infty) * v(-\infty)\tag{2.8}$$

  显然只有满足 $\lim\limits_ {x\rightarrow -\infty}u(t) * v(t)=0$，左边才能复原。如果先进行积分，那么首先就要保证 $\displaystyle\int_ {-\infty}^t[u(x) * v(x)]\mathrm dx$ 存在，显然也需要满足 $\lim\limits_ {x\rightarrow -\infty}u(t) * v(t)=0$，否则反常积分不收敛。

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  同时，有的地方说 $(2.7)$ 成立的条件是 $u(t)=\displaystyle\int_ {-\infty}^tu^\prime(x)\mathrm dx$，也就是 $\lim\limits_ {x\rightarrow -\infty}u(x)=0$。这个条件仅仅是充分条件，其必要性不成立。
  考虑 $u(t)=1+\varepsilon(t),v(t)=\left[\mathrm e^{-t}-\cfrac{1}{(t+1)^2}\right]\varepsilon(t)$，虽然不满足 $\lim\limits_ {x\rightarrow -\infty}u(x)=0$，但是依然可以使用 $(2.7)$ 式： $$\begin{aligned}u(t) * v(t)&=\delta(t) * \int_ {-\infty}^t\left[\mathrm e^{-x}-\cfrac{1}{(x+1)^2}\right]\varepsilon(x)\mathrm dx\\ &=\varepsilon(t)\int_ 0^t\left[\mathrm e^{-x}-\cfrac{1}{(x+1)^2}\right]\mathrm dx\\ &=\left(\cfrac{1}{t+1}-\mathrm e^{-t}\right)\varepsilon(t)\end{aligned}\tag{2.9}$$

  除此之外，还有一个延时的性质：若 $f(t)=f _ 1(t) * f _ 2(t)$，则有 $f(t-t _ 1-t _ 2)=f _ 1(t-t _ 1) * f _ 2(t-t _ 2)$。

系统响应的时域求解

  正如所提到的第一章中所提到的那样，一个线性系统至少包含 $4$ 种类型的响应，其中又包含一种特殊的单位冲击响应。下面归纳一下这些响应的求解方法。

单位冲激响应 $h(t)$

关于单位冲击响应的 $2$ 种解法

  单位冲激响应的求解，书上给出了一种解法，老师给出了一种解法。
  书上给出的解法叫做海维赛德部分因式分解法。这种方法很好，也非常容易掌握，但是老师没讲。这是因为该方法基于拉普拉斯变换，并且使用起来和拉普拉斯变换法高度相似。所以只需要掌握拉普拉斯变换就好了。
  因此我们在这一章需要学会老师的解法。

  单位冲激响应其实是 $0^+$ 系统的零输入响应。这给了我们求解 $h(t)$ 的思路：

• 系统在 $0^-$ 时刻是零状态的，即 $r^{(n)}(0^-)=0$。在 $t=0$ 时刻忽然到来的激励 $\delta(t)$ 改变了系统的状态，使得 $r^{(n)}(0^+)\neq 0$。
• 系统在 $t\geq 0^+$ 时按照零输入响应的方式求解——列微分方程，根据初值 $r^{(n)}(0^+)$ 求取微分方程的通解 $h(t)$。

  求微分方程的通解自然是容易的，关键在如何求系统的初值 $r^{(n)}(0^+)$ 。这个初值可以用冲击平衡法求取。
  在引入奇异函数后，我们可以将常见信号大致分为以下 $2$ 类：连续函数，非连续的连续函数的导数（后文简称非连续函数）。其中非连续函数可以写成 $\varepsilon^{(n)}(t)(n\geq 0)$ 或其组合的形式，其中最大的 $n$ 值为其间断阶（这是为了方便理解编造的术语）。比如 $x(t)=\varepsilon(t)+\delta^\prime(t)$ 的间断阶为 $2$。

连续函数多次求导变为非连续函数

  考虑一个连续函数 $x(t)$ 在某个点 $t _ 0$ 处很“尖锐”，也就是 $x(t)$ 在 $t _ 0$ 两侧的导数值不相等，那么 $x^\prime(t)$ 将会成为非连续函数并出现阶跃项。若再求导，将依次出现冲击项、冲击偶项，间断阶以 $1$ 为步长不断升高……
  当然了，也有一些函数不属于上面 $2$ 类中的任何一类，比如 Dirichlet 函数那样的，但这种函数无法在实际信号中实现，故不考虑这些函数。

  冲击平衡法的思想就是令微分方程中 $r(t)$ 的最高阶导数项是一个非连续函数，且其间断阶等于方程中非 $r(t)$ 的最高的间断阶，利用待定系数法求解。该思想还能用来求单位阶跃响应，单位冲击偶响应等。

一个例子理解冲击平衡法的思想

  用一个例子来说明，有下面的微分方程： $$i^{\prime\prime}(t)+6i^\prime(t)+8i(t)=\delta^\prime(t)\tag{2.10}$$

  其中 $i(t)$ 的最高导数项是 $i^{\prime\prime}(t)$，方程中最高间断阶是 $\delta^\prime(t)$ 的 $2$，那么就令 $i^{\prime\prime}(t)$ 的间断阶是 $2$，从而 $i^{\prime\prime}(t)$ 有下面的形式： $$i^{\prime\prime}(t)=a\delta^\prime(t)+b\delta(t)+c\varepsilon(t)+\xi(t)\tag{2.11}$$

  其中 $a,b,c$ 都是待定系数，$\xi(t)$ 是连续函数，且 $t<0$ 时 $\xi(t)=0$。将 $(2.11)$ 代入 $(2.10)$ 中，间断阶相等的非连续项一一对应，有： $$\begin{cases}a\delta^\prime(t)=\delta^\prime(t)\\ (b+6a)\delta(t)=0\\ (c+6b+8a)\varepsilon(t)=0\end{cases}\tag{2.12}$$

  从而解得 $a=1,b=-6,c=28$。最后使得函数在 $t=0$ 左右跳变的只有阶跃函数 $\varepsilon(t)$，这样就有 $i^{\prime\prime}(0^+)=i^{\prime\prime}(0^-)+c=1$。根据 $(2.11)$ 还可以知道 $i^\prime(t)$ 中含有阶跃项 $b\varepsilon(t)$，$i(t)$ 中含有阶跃项 $a\varepsilon(t)$（你可以从下面看到阶跃项不止我说的这些，其中我没提到的阶跃项实际上是连续函数），从而得到 $i^\prime(0^+)=b=-6,i(0^+)=a=1$。

  在代入 $i^{\prime\prime}(t)$ 表达式得到 $(2.12)$ 式的过程中，我们省略了将连续项对应的步骤。其实连续项也是可以自洽的。为方便描述令 $\eta(t)=\displaystyle\int _ {-\infty}^t\mathrm du\int _ {-\infty}^u\xi(v)\mathrm dv$，从而 $\xi(t)=\eta^{\prime\prime}(t)$。考虑到 $i^{\prime\prime}(0^-)=i^\prime(0^-)=i(0^-)=0$，有： $$\begin{cases}i^\prime(t)=a\delta(t)+(b+ct)\varepsilon(t)+\eta^\prime(t)\\ i(t)=\left(a+bt+\cfrac{t^2}{2}\right)\varepsilon(t)+\eta(t)\end{cases}\tag{2.13}$$   把连续项拿出来是 $$\eta^{\prime\prime}(t)+6\eta^\prime(t)+8\eta(t)=-(6ct+8bt+4t^2)\varepsilon(t)\tag{2.14}$$   所以 $\eta(t)$ 相当于是激励为 $-(6ct+8bt+4t^2)\varepsilon(t)$ 时的零状态响应，可以用微积分的常规方法求解。

三对响应的求解及其关系

  这里涉及到的三对响应分别是：

零输入响应与零状态响应自由响应与受迫响应瞬态响应与稳态响应

  在时域上，这两个响应都可以单独地通过系统的微分方程求得。特别地，零状态响应还可以由式 $(2.2)$ 卷积求得。
  从这一对响应出发，可以直接得到后两对响应。

  在时域上，这两个响应也是可以单独地通过系统的微分方程求得。特点是自由响应对应系统的特征频率，受迫响应对应非特征频率。

自由响应、受迫响应的频率特点

  自由响应、受迫响应的频率特点使得它们可以很好地从全响应中区分开来。例如给出一个系统的微分方程是 $u^\prime(t)+u=e(t)$，全响应是 $u(t)=\left(1+\cfrac{1}{2}\mathrm e^{-t}-\cfrac{1}{2}\mathrm e^{-3t}\right)\varepsilon(t)$。可以发现系统微分方程具有特征根 $\lambda=-1$，从而全响应中任何与 $\mathrm e^{-t}\varepsilon(t)$ 线性相关的都是自由响应，非线性相关的都是受迫响应。因此不难得到自由响应 $u _ h(t)=\cfrac{1}{2}\mathrm e^{-t}\varepsilon(t)$，受迫响应 $u _ p(t)=\left(1-\cfrac{1}{2}\mathrm e^{-3t}\right)\varepsilon(t)$。

  这个一般通过全响应直接分析得到的。如果没有给出全响应，要通过前面的某一对响应相加得到。如其名，随时间收敛到 $0$ 的是瞬态响应，否则就是稳态响应。

  上面提到的这些响应的关系是：