3 连续信号的正交分解
傅里叶级数¶
三角傅里叶级数¶
对于真实信号周期函数 $f(t)$ 来说，一般都可以分解为傅里叶级数： $$f(t)=\cfrac{a _ 0}{2}+\sum _ {n=1}^\infty(a _ n\cos n\varOmega t+b _ n\sin n\varOmega t)\tag{3.1}$$
关于傅里叶级数严谨的写法
根据 Dirichlet 条件，式 $(3.1)$ 中的 “$=$” 写作 “$\sim$” 更严谨，因为可能会存在一些离散的点，等式左右两边在这些点上的取值不相等。但是毕竟是个别离散的点，工程上可以直接忽略，所以直接使用了 “$=$”。
其中，系数 $a _ n,b _ n$ 的求解公式是： $$\begin{cases}\displaystyle a _ n=\cfrac{2}{T}\int _ {t _ 1}^{t _ 1+T}f(t)\cos n\varOmega t\mathrm dt\\ \displaystyle b _ n=\cfrac{2}{T}\int _ {t _ 1}^{t _ 1+T}f(t)\sin n\varOmega t\mathrm dt\end{cases}\tag{3.2}$$
其中有 $T=2\pi/\varOmega$，是函数 $f(t)$ 的周期。
指数傅里叶级数¶
显然，式 $(3.1)$ 也可以使用配角公式，写作式 $(3.3)$ 所示： $$f(t)=\cfrac{a _ 0}{2}+\sum _ {n=1}^\infty A_ n\cos(n\varOmega t+\varphi _ n)\tag{3.3}$$
如果考虑到欧拉公式，使用复指数消去三角函数，就得到了 $f(t)$ 的指数傅里叶级数： $$f(t)=\cfrac{1}{2}\sum_ {n=-\infty}^{+\infty}A _ n\mathrm e^{\mathrm j(n\varOmega t+\varphi _ n)}=\cfrac{1}{2}\sum _ {n=-\infty}^{+\infty}\dot A _ n\mathrm e^{\mathrm jn\varOmega t}\tag{3.4}$$
注意 $n$ 从 $(3.3)$ 中的 $\mathbb N _ +$ 拓展到了 $(3.4)$ 中的 $\mathbb Z$。这是指数傅里叶级数与三角傅里叶级数最大的不同之处。
- $n>0$ 时式 $(3.4)$ 的 $A _ n$ 和 $\varphi _ n$ 同 $(3.3)$。
- 特别地，对于 $n=0$，有 $A _ 0=a _ 0$，$\varphi _ 0=0$。
- 对于 $n<0$，则有 $A _ n=A _ {-n}$，$\varphi _ n=-\varphi _ {-n}$。
有的地方使用 $F _ n$ 和 $\dot F _ n$，它们分别有 $F _ n=A _ n/2$，$\dot F _ n=\dot A _ n/2$。
傅里叶变换及其性质¶
傅里叶变换¶
当周期函数的 $T$ 趋于无穷大时，这个函数就不再具备周期性，同时其傅里叶级数中 $k$ 次谐波和 $k+1$ 次谐波的频率差也趋于 $0$，离散的函数有向连续转变的趋势，级数和有向定积分转变的趋势。对比式 $(3.4)$，对于非周期函数 $f(t)$，有： $$f(t)=\cfrac{1}{2\pi}\int _ {-\infty}^{+\infty} F(\omega)\mathrm e^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\tag{3.5}$$
有的地方也把 $F(\omega)$ 写作 $F(\mathrm j\omega)$。为了方便，后面都记作 $F(\omega)$。
其中“系数” $F(\omega)$ 可以通过下式求得： $$F(\omega)=\int _ {-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\tag{3.6}$$
式 $(3.5)(3.6)$ 被统称为傅里叶变换式，$(3.6)$ 被称为正变换，也写作 $F(\omega)=\mathscr F\lbrace f(t)\rbrace $；$(3.5)$ 被称为反变换，也写作 $f(t)=\mathscr F^{-1}\lbrace F(\omega)\rbrace $。
单矩形脉冲信号与抽样函数
特别地，
| 单矩形脉冲信号 $f(t)$ | 单矩形脉冲信号的傅里叶变换 $F(\omega)$ |
 |
 |
|---|
傅里叶变换的性质¶
傅里叶变换具有的性质有：
线性特性：$\mathscr F\lbrace af _ 1(t) +bf _ 2(t)\rbrace =a\mathscr F\lbrace f _ 1(t)\rbrace + b\mathscr F\lbrace f _ 2(t)\rbrace $。
延时特性：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，则 $f(t-t _ 0)\leftrightarrow F(\omega)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t _ 0}$。
移频特性：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，则 $f(t)\mathrm e^{\mathrm j\omega _ ct}\leftrightarrow F(\omega-\omega _ c)$。
特别的，由于余弦函数可以用复指数表示，因此也存在 $f(t)\cos\omega _ ct\leftrightarrow \cfrac{1}{2}[F(\omega+\omega _ c)+F(\omega-\omega _ c)]$。
尺度变换特性：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，则 $f(at)\leftrightarrow \cfrac{1}{|a|}F\left(\cfrac{\omega}{a}\right)$。
对称特性（非常有用）：若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，则 $F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$。
关于对称特性的独到用处
对称特性非常适合用于求已知反变换的函数的正变换。例如，单矩形脉冲函数的傅里叶变换是抽样函数，但是直接求抽样函数的傅里叶变换会比较困难。
$$\begin{aligned}\mathscr F\lbrace \mathrm{Sa}(t)\rbrace&=\int _ {-\infty}^{+\infty}\mathrm{Sa}(t)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\\
&=2\int _ {0}^{+\infty}\cfrac{\sin t}{t}\cos(\omega t)\\
&=\int _ {0}^{+\infty}\cfrac{\sin(1+\omega) t+\sin(1-\omega)t}{t}\mathrm dt\end{aligned}\tag{3.7}$$
根据狄利克雷积分：
$$\int _ 0^{+\infty}\cfrac{\sin x}{x}\mathrm dx=\cfrac{\pi}{2}\tag{3.8}$$
可得当 $-1< \omega< 1$ 时，$\mathscr F\lbrace\mathrm{Sa}(t)\rbrace=\pi$;当 $\omega > 1$ 或 $\omega < -1$ 时，$\mathscr F\lbrace\mathrm{Sa}(t)\rbrace=0$。
即 $\mathscr F\lbrace\mathrm{Sa}(t)\rbrace\leftrightarrow \pi[\varepsilon(\omega+1)-\varepsilon(\omega-1)]$。
显然用对称特性会比直接计算快一些：令 $A=\cfrac{1}{2}$ 和 $\tau=2$，那么有：
$$\cfrac{1}{2}[\varepsilon(t+1)-\varepsilon(t-1)]\leftrightarrow \mathrm{Sa}(\omega)\tag{3.8}$$
根据对称特性有：
$$\mathrm{Sa}(t)\leftrightarrow \pi[\varepsilon(-\omega+1)-\varepsilon(-\omega-1)]\tag{3.9}$$
式 $(3.9)$ 和用狄利克雷积分获得的结果是一样的。
微分特性：分为时域上的微分和频域上的微分。
若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，则有 $\cfrac{\mathrm d^nf(t)}{\mathrm dt^n}\leftrightarrow (\mathrm j\omega)^nF(\omega)$ 和 $(-\mathrm jt)^nf(t)\leftrightarrow \cfrac{\mathrm d^nF(\omega)}{\mathrm dt^n}$。
积分特性：分为时域上的积分和频域上的积分。
若 $f(t)\leftrightarrow F(\omega)$，且不考虑 $t=0,\omega=0$ 时 $f(t),F(\omega)$ 的取值，则有 $\displaystyle\int _ {-\infty}^t f(\tau)\mathrm d\tau\leftrightarrow \cfrac{1}{\mathrm j\omega}F(\omega)$ 和 $\displaystyle\cfrac{1}{-\mathrm jt}f(t)\leftrightarrow\int _ {-\infty}^\omega F(\varOmega)\mathrm d\varOmega$。
需要注意的是式中的积分都应该收敛。
卷积特性（非常重要）：
特性一：两个信号的卷积的傅里叶变换是它们分别傅里叶变换的乘积：$$f _ 1(t) * f _ 2(t)\leftrightarrow \mathscr F\lbrace f _ 1(t)\rbrace\mathscr F\lbrace f _ 2(t)\rbrace\tag{3.10}$$
特性二：两个信号的乘积的傅里叶变换是它们分别傅里叶变换的卷积的 $\cfrac{1}{2\pi}$：$$f _ 1(t)f _ 2(t)\leftrightarrow \cfrac{1}{2\pi}\mathscr F\lbrace f _ 1(t)\rbrace * \mathscr F\lbrace f _ 2(t)\rbrace\tag{3.11}$$
这一结论可以由特性一和对称特性导出。
由特性一和对称特性导出特性二
不妨记 $\mathscr F\lbrace g _ 1(t)\rbrace=G _ 1(\omega)$，$\mathscr F\lbrace g _ 2(t)\rbrace=G _ 2(\omega)$。由特性一，有 $$g _ 1(t) * g _ 2(t)\leftrightarrow G _ 1(\omega)G _ 2(\omega)\tag{3.12}$$ 因此得到三个傅里叶变换关系： $$\begin{cases}g _ 1(t)\leftrightarrow G _ 1(\omega)\\ g _ 2(t)\leftrightarrow G _ 2(\omega)\\ g _ 1(t) * g _ 2(t)\leftrightarrow G _ 1(\omega)G _ 2(\omega)\end{cases}\tag{3.13}$$ 根据对称特性，有： $$\begin{cases}G _ 1(t)\leftrightarrow 2\pi g _ 1(-\omega)\\ G _ 2(t)\leftrightarrow 2\pi g _ 2(-\omega)\\ G _ 1(t)G _ 2(t)\leftrightarrow 2\pi g _ 1(-\omega) * g _ 2(-\omega)\end{cases}\tag{3.14}$$ 由 $(3.14)$ 中前两式可得 $\mathscr F\lbrace G _ 1(t)\rbrace=2\pi g _ 1(-\omega)$，$\mathscr F\lbrace G _ 2(t)\rbrace=2\pi g _ 2(-\omega)$。代入第三式即得： $$G _ 1(t)G _ 2(t)\leftrightarrow \cfrac{1}{2\pi}\mathscr F\lbrace G _ 1(t)\rbrace * \mathscr F\lbrace G _ 2(t)\rbrace\tag{3.15}$$
阶跃函数 $\varepsilon(t)$ 的傅里叶变换¶
有一些不绝对可积的函数，在广义函数视角下也能有傅里叶变换，比如 $1\leftrightarrow \delta(\omega)$。
这里特别提一下阶跃函数的傅里叶变换：
$$\varepsilon(t)\leftrightarrow \pi\delta(\omega)-\mathrm j\cfrac{1}{\omega}\tag{3.16}$$
它实在是太古怪了，因为虚部 $-\cfrac{1}{\omega}$ 在 $\omega=0$ 处的积分是发散的。而这一点就导致对变换 $(3.16)$ 使用对称特性时出现数学问题。
不妨计算一下 $\pi\delta(t)-\mathrm j\cfrac{1}{t}$ 的傅里叶变换：
$$\begin{aligned}\int _ {-\infty}^{+\infty}\left(\pi\delta(t)-\mathrm j\cfrac{1}{t}\right)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt&=\pi-\mathrm j\int _ {-\infty}^{+\infty}\cfrac{\cos(\omega t)-\mathrm j\sin(\omega t)}{t}\mathrm dt\\
&=\pi-\mathrm j\int _ {-\infty}^{+\infty}\cfrac{\cos(\omega t)}{t}\mathrm dt-\int _ {-\infty}^{+\infty}\cfrac{\sin(\omega t)}{t}\mathrm dt\\
&=2\pi\varepsilon(-t)-\mathrm j\int _ {-\infty}^{+\infty}\cfrac{\cos(\omega t)}{t}\mathrm dt\end{aligned}\tag{3.17}$$
式 $(3.16)$ 最后一个等号处用到了狄利克雷积分，参见式 $(3.8)$。
按照对称特性，$(3.17)$ 的结果应该等于 $2\pi\varepsilon(-t)$，这也就意味着式 $(3.17)$ 最后的一个积分项应为零。但是根据 $\cos x>1-\cfrac{x^2}{2}$，有 $\cfrac{\cos(\omega t)}{t}>\cfrac{1}{t}-\cfrac{\omega^2t}{2}(t>0)$，从而积分 $\displaystyle\int _ {-\infty}^{+\infty}\cfrac{\cos(\omega t)}{t}\mathrm dt$ 发散而不是等于零。
这门课看似基于数学，但很多时候也简化了很多细节，刻意避开无法用数学解释的地方而为工程实践服务。