4 连续时间系统的频域分析
这一章是运用傅里叶变换将信号在时域上的分析转移到频域。相比于拉普拉斯变换，傅里叶变换
为什么傅里叶变换只能求解系统的零状态响应
通过对傅里叶变换只能求解系统的零状态响应，说明它无法考虑系统的初值条件。这有两个原因：
- 很多激励函数的傅里叶变换都是不存在的。
- 傅里叶变换考虑了 $t < 0$ 的时间域。
从式 $(3.6)$(1)中我们可以感性地看到，当 $t\rightarrow -\infty$ 时，复变量 $\mathrm e^{-\mathrm j\omega t}$ 会不停地在复平面旋转；如果 $f(t)$ 是实信号，只有$\lim\limits _ {t\rightarrow -\infty}f(t)=0$，反常积分才可能收敛，傅里叶变换 $F(\omega)$ 才有可能存在。
由于我们在频域求解时，对 $r(t)$ 进行了傅里叶变换，其前提就是傅里叶变换存在，因而有 $\lim\limits _ {t\rightarrow -\infty}r(t)=0$，即系统无初始储能。
基于相同的原因，双边拉普拉斯变换应该也存在只能求解零状态响应的问题。但是单边拉普拉斯变换因为积分下限是 $0$，$\mathrm e^{-st}$ 中的 $s$ 就不会跑到负无穷那边去，因而不需要条件 $\lim\limits _ {t\rightarrow -\infty}f(t)=0$。
- $\displaystyle F(\omega)=\int _ {-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt$
频率分析方法¶
频率响应函数¶
频率响应函数 $H(\omega)$ 描述了系统对特定频率的激励的响应特征。一方面，根据系统 $r(t)$ 与 $e(t)$ 的微分方程，经过傅里叶变换后得到频域的方程，从而定义频率响应函数： $$H(\omega)=\cfrac{R(\omega)}{E(\omega)}\tag{4.1}$$
若已知 $E(\omega)$，可以直接与频响函数相乘得 $R(\omega)$。
另一方面，根据 $(2.3)$(1)的卷积式也能得到 $R(\omega)=H(\omega)E(\omega)$，从而发现频响函数是冲激响应的傅里叶变换，即 $h(t)\leftrightarrow H(\omega)$。
- $\displaystyle r(t) = \int _ 0^te(t)h(t-\tau)\mathrm d\tau$
利用频响函数进行频域分析¶
对于给定的激励信号 $e(t)$，可以按照下面的步骤，在频域求响应 $r(t)$：
- 对 $e(t)$ 傅里叶变换得 $E(\omega)$。
- 设法得到频响函数 $H(\omega)$，求 $R(\omega)=H(\omega)E(\omega)$。
- 对 $R(\omega)$ 反变换得 $r(t)$。
该方法使用了傅里叶变换。一般情况下都是使用上面陈述的这个方法。
但是如果遇到了周期信号，特别是正弦信号，可以不用傅里叶变换就求出系统的响应，这其实就是电路理论里面的相量法解正弦稳态电路。
这种方法的核心思想就是：若 $e(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$，则 $r(t)=A|H(\omega)|\cos(\omega t+\varphi+\varphi(\omega))$。其中 $H(\omega)=|H(\omega)|\varphi(\omega)$。
相量法解正弦稳态电路的例子
这是课本上的例题。我们仍然用 $\dot E=E\phase{\varphi}$（相量）记 $E\mathrm e^{\mathrm j(\omega t+\varphi)}$，对于 $H(\omega)$ 就记成 $|H(\omega)|\phase{\varphi(\omega)}$。
当激励为 $e(t)=2+2\cos t+2\cos 2t$ 时，将其分成三个相量 $\dot E _ 0=2$，$\dot E _ 1=2\phase {0^\circ}$，$\dot E _ 2=2\phase {0^\circ}$。如果通过一些别的手段能够得到 $H(0)=2\phase {0^\circ}$，$H(1)=1\phase{-\mathrm j90^\circ}$，$H(2)=0\phase{ 0^\circ}$，就能够分别得到 $\dot R _ 0=4\phase{ 0^\circ}$，$\dot R _ 1=2\phase{ -\mathrm j90^\circ}$，$\dot R _ 2=0\phase{ 0^\circ}$。
转换成时域并合并，就有 $r(t)=4+2\cos\left(t-\cfrac{\pi}{2}\right)=4+2\sin t$。
理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应¶
归一化理想低筒滤波器的频响函数 $H(\omega)$ 满足 $|H(\omega)|=\varepsilon(t+\omega _ {c0})-\varepsilon(t-\omega _ {c0})$，$\varphi(\omega)=-\omega t _ 0$。它禁止一切频率高于 $\omega _ {c0}$ 的分量通过，对于频率小于 $\omega _ {c0}$ 的分量，会延时 $t _ 0$ 时间。这非常符合人们对理想滤波器的构想，既实现了滤波，又考虑了物理上不可忽略的延时因素。
通过对这个频响函数进行分析，即傅里叶反变换，我们可以求出它的单位冲击响应 $h(t)$，也可以用其他方法求出它的单位阶跃响应。两个响应的图像都很符合我们的预期，但是并不完全符合，因为图象总是会有抖动。同时，我们确定了 $t<0$ 时段的响应，而冲激响应只在 $t=0$ 作用，阶跃响应只在 $t>0$ 作用，因而理想滤波器不满足因果律，是不可实现的。