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4 连续时间系统的频域分析

  这一章是运用傅里叶变换将信号在时域上的分析转移到频域。相比于拉普拉斯变换，傅里叶变换只能求解系统的零状态响应。

为什么傅里叶变换只能求解系统的零状态响应

  通过对傅里叶变换只能求解系统的零状态响应，说明它无法考虑系统的初值条件。这有两个原因：

  • 很多激励函数的傅里叶变换都是不存在的。
  • 傅里叶变换考虑了 t<0t < 0 的时间域。

  从式 (3.6)(3.6)

中我们可以感性地看到，当 t→−∞t\rightarrow -\infty 时，复变量 e−jωt\mathrm e^{-\mathrm j\omega t} 会不停地在复平面旋转；如果 f(t)f(t) 是实信号，只有lim⁡t→−∞f(t)=0\lim\limits _ {t\rightarrow -\infty}f(t)=0，反常积分才可能收敛，傅里叶变换 F(ω)F(\omega) 才有可能存在。
  由于我们在频域求解时，对 r(t)r(t) 进行了傅里叶变换，其前提就是傅里叶变换存在，因而有 lim⁡t→−∞r(t)=0\lim\limits _ {t\rightarrow -\infty}r(t)=0，即系统无初始储能。
  基于相同的原因，双边拉普拉斯变换应该也存在只能求解零状态响应的问题。但是单边拉普拉斯变换因为积分下限是 00，e−st\mathrm e^{-st} 中的 ss 就不会跑到负无穷那边去，因而不需要条件 lim⁡t→−∞f(t)=0\lim\limits _ {t\rightarrow -\infty}f(t)=0。

频率分析方法

频率响应函数

  频率响应函数 H(ω)H(\omega) 描述了系统对特定频率的激励的响应特征。一方面，根据系统 r(t)r(t) 与 e(t)e(t) 的微分方程，经过傅里叶变换后得到频域的方程，从而定义频率响应函数： H(ω)=R(ω)E(ω)(4.1)H(\omega)=\cfrac{R(\omega)}{E(\omega)}\tag{4.1}

  若已知 E(ω)E(\omega)，可以直接与频响函数相乘得 R(ω)R(\omega)。
  另一方面，根据 (2.3)(2.3)

的卷积式也能得到 R(ω)=H(ω)E(ω)R(\omega)=H(\omega)E(\omega)，从而发现频响函数是冲激响应的傅里叶变换，即 h(t)↔H(ω)h(t)\leftrightarrow H(\omega)。

利用频响函数进行频域分析

  对于给定的激励信号 e(t)e(t)，可以按照下面的步骤，在频域求响应 r(t)r(t)：

  1. 对 e(t)e(t) 傅里叶变换得 E(ω)E(\omega)。
  2. 设法得到频响函数 H(ω)H(\omega)，求 R(ω)=H(ω)E(ω)R(\omega)=H(\omega)E(\omega)。
  3. 对 R(ω)R(\omega) 反变换得 r(t)r(t)。

  该方法使用了傅里叶变换。一般情况下都是使用上面陈述的这个方法。
  但是如果遇到了周期信号，特别是正弦信号，可以不用傅里叶变换就求出系统的响应，这其实就是电路理论里面的相量法解正弦稳态电路。
  这种方法的核心思想就是：若 e(t)=Acos⁡(ωt+φ)e(t)=A\cos(\omega t+\varphi)，则 r(t)=A∣H(ω)∣cos⁡(ωt+φ+φ(ω))r(t)=A|H(\omega)|\cos(\omega t+\varphi+\varphi(\omega))。其中 H(ω)=∣H(ω)∣φ(ω)H(\omega)=|H(\omega)|\varphi(\omega)。

相量法解正弦稳态电路的例子

  这是课本上的例题。我们仍然用 E˙=Eφ\dot E=E\phase{\varphi}（相量）记 Eej(ωt+φ)E\mathrm e^{\mathrm j(\omega t+\varphi)}，对于 H(ω)H(\omega) 就记成 ∣H(ω)∣φ(ω)|H(\omega)|\phase{\varphi(\omega)}。
  当激励为 e(t)=2+2cos⁡t+2cos⁡2te(t)=2+2\cos t+2\cos 2t 时，将其分成三个相量 E˙0=2\dot E _ 0=2，E˙1=20∘\dot E _ 1=2\phase {0^\circ}，E˙2=20∘\dot E _ 2=2\phase {0^\circ}。如果通过一些别的手段能够得到 H(0)=20∘H(0)=2\phase {0^\circ}，H(1)=1−j90∘H(1)=1\phase{-\mathrm j90^\circ}，H(2)=00∘H(2)=0\phase{ 0^\circ}，就能够分别得到 R˙0=40∘\dot R _ 0=4\phase{ 0^\circ}，R˙1=2−j90∘\dot R _ 1=2\phase{ -\mathrm j90^\circ}，R˙2=00∘\dot R _ 2=0\phase{ 0^\circ}。
  转换成时域并合并，就有 r(t)=4+2cos⁡(t−π2)=4+2sin⁡tr(t)=4+2\cos\left(t-\cfrac{\pi}{2}\right)=4+2\sin t。

理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应

  归一化理想低筒滤波器的频响函数 H(ω)H(\omega) 满足 ∣H(ω)∣=ε(t+ωc0)−ε(t−ωc0)|H(\omega)|=\varepsilon(t+\omega _ {c0})-\varepsilon(t-\omega _ {c0})，φ(ω)=−ωt0\varphi(\omega)=-\omega t _ 0。它禁止一切频率高于 ωc0\omega _ {c0} 的分量通过，对于频率小于 ωc0\omega _ {c0} 的分量，会延时 t0t _ 0 时间。这非常符合人们对理想滤波器的构想，既实现了滤波，又考虑了物理上不可忽略的延时因素。
  通过对这个频响函数进行分析，即傅里叶反变换，我们可以求出它的单位冲击响应 h(t)h(t)，也可以用其他方法求出它的单位阶跃响应。两个响应的图像都很符合我们的预期，但是并不完全符合，因为图象总是会有抖动。同时，我们确定了 t<0t<0 时段的响应，而冲激响应只在 t=0t=0 作用，阶跃响应只在 t>0t>0 作用，因而理想滤波器不满足因果律，是不可实现的。