5 连续时间系统的复频域分析
拉普拉斯变换¶
拉普拉斯变换通过引入一个收敛因子 $\mathrm e^{-\sigma t}$，使得对于那些没有傅里叶变换的信号 $f(t)$ 而言，$f(t)\mathrm e^{-\sigma t}$ 有傅里叶变换。对 $f(t)\mathrm e^{-\sigma t}$ 的傅里叶变换就是对 $f(t)$ 的拉普拉斯变换。双边拉普拉斯变换为： $$F(s)=\int _ {-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt\tag{5.1}$$
反变换为： $$f(t)=\cfrac{1}{2\pi\mathrm j}\int _ {\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty}F(s)\mathrm e^{st}\mathrm ds\tag{5.2}$$
收敛因子不一定能起到收敛效果
实际上，并不是对于所有信号 $f(t)$，总存在 $\sigma$ 使其收敛，例如一些比指数增长还快的信号 $f(t)=\mathrm e^{t^2}$。但是这种信号在工程运用中是不会碰到的，可以认为所有实际出现的信号的阶都不会高于指数。
实际上，我们一般只用到单边拉普拉斯变换： $$\begin{cases}F(s)=\displaystyle\int _ 0^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-st}\mathrm dt\\ f(t)=\displaystyle\left[\cfrac{1}{2\pi\mathrm j}\int _ {\sigma-\mathrm j\infty}^{\sigma+\mathrm j\infty}F(s)\mathrm e^{st}\mathrm ds\right]\varepsilon(t)\end{cases}\tag{5.3}$$
| 公式编号 | $f(t)$ | $F(s)$ |
|---|---|---|
| $1$ | $\delta(t)$ | $1$ |
| $2$ | $\varepsilon(t)$ | $\cfrac{1}{s}$ |
| $3$ | $t\varepsilon(t)$ | $\cfrac{1}{s^2}$ |
| $4$ | $t^n\varepsilon(t)$ | $\cfrac{n!}{s^{n+1}}$ |
| $5$ | $\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t)$ | $\cfrac{1}{s-\alpha}$ |
| $6$ | $t\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t)$ | $\cfrac{1}{(s-\alpha)^2}$ |
| $7$ | $t^n\mathrm e^{\alpha t}\varepsilon(t)$ | $\cfrac{n!}{(s-\alpha)^{n+1}}$ |
| $8$ | $\sin(\omega t)\varepsilon(t)$ | $\cfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ |
| $9$ | $\cos(\omega t)\varepsilon(t)$ | $\cfrac{s}{s^2+\omega^2}$ |
| $10$ | $\mathrm e^{\alpha t}\sin(\omega t)\varepsilon(t)$ | $\cfrac{\omega}{(s-\alpha)^2+\omega^2}$ |
| $11$ | $\mathrm e^{\alpha t}\cos(\omega t)\varepsilon(t)$ | $\cfrac{s-\alpha}{(s-\alpha)^2+\omega^2}$ |
上表第 $8$ 到 $11$ 项均可由第 $5$ 项推得。
拉普拉斯反变换的求解¶
从积分上下限 $\sigma\pm\mathrm j\omega$ 来看，拉普拉斯反变换不好直接根据式 $(5.3)$ 计算。在求反变换上，还是傅里叶反变换更简单。除了复变中的方法之外，若要求 $F(s)$ 的原函数，只能通过将 $F(s)$ 拆解成一些简单项的和，利用拉普拉斯变换的线性性，逐项对照上表求反变换。
单边拉普拉斯变换的求解¶
单边拉普拉斯变换可以直接对照上面的表格。
例如，$F(s)=\cfrac{1+s}{s^2}$，求其反变换可以对照上表的第 $2,3$ 项：
$$f(t)=\mathscr L^{-1}\left\lbrace\cfrac{1+s}{s^2}\right\rbrace=\mathscr L^{-1}\left\lbrace\cfrac{1}{s^2}\right\rbrace+\mathscr L^{-1}\left\lbrace\cfrac{1}{s}\right\rbrace=(1+t)\varepsilon(t)\tag{5.4}$$
双边拉普拉斯变换的求解¶
很多时候是会遇到双边拉普拉斯变换的，包括后面的 $z$ 变换也存在双边的情况。这个时候收敛域显得至关重要。
关于收敛域的重要性
考虑下面两个双边拉普拉斯变换： $$\mathscr L _ {\mathrm d}\lbrace{\mathrm e^{\alpha t}}\varepsilon(t)\rbrace=\cfrac{1}{s-\alpha}\tag{5.5}$$ $$\mathscr L _ {\mathrm d}\lbrace{-\mathrm e^{\alpha t}}\varepsilon(-t)\rbrace=\cfrac{1}{s-\alpha}\tag{5.6}$$
两个不同的原函数 $f(t)$ 得到了相同的双边拉普拉斯变换 $F _ \mathrm d(s)=\cfrac{1}{s-\alpha}$。问题是，如果已知 $F _ \mathrm d(s)=\cfrac{1}{s-\alpha}$，那么原函数 $f(t)$ 应该是谁？
- 如果给出收敛域 $\sigma>\alpha$，那么就是右边信号，是式 $(5.5)$ 中的原函数。
- 如果给出收敛域 $\sigma<\alpha$，那么就是左边信号，是式 $(5.6)$ 中的原函数。
给出收敛域，能够区分 $F(s)$ 中哪些对应右边信号，哪些对应左边信号。
如给出收敛域为 $4<\sigma<6$ 的 $s$ 域函数：
$$F _ {\mathrm d}(s)=\cfrac{1}{s-4}-\cfrac{1}{s-6}\tag{5.7}$$
这个收敛域的含义是，右边信号在 $\sigma >4$ 时收敛，左边信号在 $\sigma<6$ 时收敛。
- $\cfrac{1}{s-4}$ 不收敛时，$s=4$，在右边信号的非收敛域，所以 $\cfrac{1}{s-4}$ 对应右边信号 $\mathrm e^{4t}\varepsilon(t)$。
- $\cfrac{1}{s-6}$ 不收敛时，$s=6$，在左边信号的非收敛域，所以 $\cfrac{1}{s-6}$ 对应左边信号 $-\mathrm e^{6t}\varepsilon(t)$。
因此 $f(t)=\mathrm e^{4t}\varepsilon(t)+\mathrm e^{6t}\varepsilon(t)$。
拉普拉斯变换的性质¶
拉普拉斯变换是通过傅里叶变换得到的，所以很多性质都可以参考傅里叶变换。应用于连续时间系统的分析，拉普拉斯主要用到下面的前 $2$ 个特性。
时域微分性质¶
时域微分能够计入初始值，这是单边傅里叶变换 $(5.3)$ 的特性决定的： $$\mathscr L\left\lbrace\cfrac{\mathrm d^nf(t)}{\mathrm dt}\right\rbrace=s^nF(s)-s^{n-1}f(0^-)-s^{n-1}f ^\prime (0^-)-\cdots-f^{(n-1)}(0^-)\tag{5.8}$$
$n$ 阶微分需要 $n$ 个初始值。因此已知初始值，可以用拉普拉斯变换来求系统的全响应。
时域积分性质¶
一般拉普拉斯变换处理的都是 $t=0$ 开始的有始信号 $f(t)$，因而 $t<0^-$ 时 $f(t)=0$。对于这样的 $f(t)$，满足下面的积分性质： $$\mathscr L\left\lbrace\int _ {-\infty}^tf(\tau)\mathrm d\tau\right\rbrace=\cfrac{F(s)}{s}\tag{5.9}$$
若 $f(t)$ 不是有始信号，应将式 $(5.9)$ 中的 $F(s)$ 改为 $F(s)+\displaystyle\int _ {-\infty}^{0^-}f(\tau)\mathrm d\tau$。
卷积特性¶
拉普拉斯的卷积特性与傅里叶变换的稍有不同： $$f _ 1(t) * f _ 2(t)\leftrightarrow \mathscr L\lbrace f _ 1(t)\rbrace\mathscr L\lbrace f _ 2(t)\rbrace\tag{5.10}$$ $$f _ 1(t)f _ 2(t)\leftrightarrow \cfrac{1}{2\pi\mathrm j}\mathscr L\lbrace f _ 1(t)\rbrace * \mathscr L\lbrace f _ 2(t)\rbrace\tag{5.11}$$
注意对比 $(5.11)$ 与 $(3.11)$(1)的系数。
- $f _ 1(t)f _ 2(t)\leftrightarrow \textcolor{red}{\cfrac{1}{2\pi}}\mathscr F\lbrace f _ 1(t)\rbrace * \mathscr F\lbrace f _ 2(t)\rbrace$
关于拉普拉斯变换的卷积特性
式 $(5.11)$ 在书上未给出证明，经典地“留作习题”。如果不考虑复变函数中的方法，我们无法仿照式 $(3.11)$ 的证法给出式 $(5.11)$ 的证明，因为拉普拉斯变换不存在对称特性。