6 连续时间系统的系统函数
这一章主要涉及到系统函数的极点、零点和系统稳定性。
极点和零点¶
系统函数 $H(s)=\cfrac{N(s)}{D(s)}$，使得 $N(s)=0$ 的根称为零点，使得 $D(s)=0$ 的根称为极点。
极零图¶
将极点（用×）和零点（用○）在 $s$ 平面中标出来，就得到系统的极零图。
系统函数的不可约分性¶
先来看看关于 $H(s)$ 约分的两种观点。
管致中教材
在某种特定的情况下，系统函数可能有某一对相同的零极点，即 $H(s)$ 的分母多项式 $D(s)$ 和分子多项式 $N(s)$ 有一相同的因式 $(s-\lambda _ k)$。假如此共同因子相消，则系统将丢失一自然频率，零输入响应中则少掉一响应的指数项。因此以消去分子、分母共同因子后的系统函数的分母等于零作为系统的特征方程是错误的。由于该方程的根只反映了系统的部分极点而不是系统极点的全貌，因此该方程也就不再是系统的特征方程了。
郑君里教材
$H(p)$ 是一个算子，$p$ 不是变量。而 $H(s)$ 是变量 $s$ 的函数。在 $H(s)$ 中，分子和分母的公共因子可以消去，而在 $H(p)$ 表示式中则不准相消。只有当 $H(p)$ 的分母与分子没有公因子的条件下，$H(p)$ 与 $H(s)$ 的形式才完全对应相同。$H(p)$ 既可用来说明零状态特性，又可说明零输入特性。而 $H(s)$ 只能用来说明零状态特性。
上面两种立场其实是不矛盾的，管从零输入响应的角度指出 $H(s)$ 不可约分，郑从零状态响应的角度指出 $H(s)$ 可以约分。对此的总结就是，在零状态响应中，$H(s)$ 始终是可约分的，$H(s)$ 约分只会造成零输入响应的错误求解。
关于实际系统中的系统函数
一般说来，在实际系统求解 $H(s)$ 的过程中，如果最后得到的 $H(s)$ 可以约分得到 $\hat H(s)$，多半是因为你的方法不够简洁。换句话说，$\hat H(s)$ 是能够通过更简洁的方法正确导出的，因此这时系统函数表现出“可以约分”的情况。
求零状态响应时“可约分”的例子
比如要求一个系统的零状态响应，这个系统有下面的微分方程： $$r^{\prime\prime}(t)-r(t)=e^\prime(t)-e(t)\tag{6.1}$$ 其中激励 $e(t)=\mathrm e^{-t}\varepsilon(t)$。求解微分方程 $(6.1)$ 得 $$r(t)=C _ 1\mathrm e^t + C _ 2\mathrm e^{-t}+t\mathrm e^{-t}(t>0)\tag{6.2}$$ 系统的初值不能代入 $r(0^-)=r^\prime(0^-)=0$，只能代入 $0^+$ 时刻的初值。根据冲击平衡法得 $r(0^+)=0$，$r^\prime(0^+)=1$，代入式子 $(6.2)$ 有 $$r(t)=t\mathrm e^{-t}\varepsilon(t)\tag{6.3}$$
冲击平衡法还得到了 $r^{\prime\prime}(0^+)=-2$，这符合式 $(6.3)$，逻辑上自洽。
根据式 $(6.1)$，该系统的系统函数应是 $$H(s)=\cfrac{R(s)}{E(s)}=\cfrac{s-1}{s^2-1}\tag{6.4}$$
进行约分处理，就有 $$R(s)=H(s)E(s)=\cfrac{1}{(s+1)^2}\tag{6.5}$$
从而 $$r(t)=\mathscr L^{-1}\left\lbrace\cfrac{1}{(s+1)^2}\right\rbrace=t\mathrm e^{-t}\varepsilon(t)\tag{6.6}$$
式 $(6.6)$ 得到的结果与 $(6.3)$ 是一样的，说明此时系统函数是可约分的。
我还试了一下激励为 $e(t)=\mathrm e^t\varepsilon(t)$ 的情况，通过约分的系统函数也能得到正确答案。
事实上，系统函数的约分将 $(6.1)$ 变成了下面的微分方程 $$r^\prime(t)+r(t)=e(t)\tag{6.7}$$
容易证明 $(6.1)$ 和 $(6.7)$ 是等价的，这也就是系统函数 $(6.4)$ 能够约分的原因。
$(6.7)$ 到 $(6.1)$ 显然成立，下面给出 $(6.1)$ 到 $(6.7)$ 的推导。
令 $x(t)=r(t)+r^\prime(t)$，则 $(6.1)$ 化为
$$x^\prime(t)-x(t)=e^\prime(t)-e(t)\tag{6.8}$$
即要证式 $(6.8)$ 是 $x(t)=e(t)$ 的充分条件。由 $(6.8)$ 能够得到通解 $x _ h(t)=C\mathrm e^t$，观察到特解 $x _ p(t)=e(t)$，从而 $$x(t)=C\mathrm e^{t}+e(t)\tag{6.9}$$
显然激励是有始信号，即 $e(0^-)=0$；而零状态响应 $r^{(n)}(0^-)=0$，从而 $x(0^-)=0$。代入 $(6.9)$ 得 $C=0$，从而得证。
求零输入响应时“不可约分”
这是显然的。一方面，由于系统可能存在着初始状态，式 $(6.9)$ 中的 $C=0$ 一般不会成立。另一方面，约分导致系统特征根减少，$r _ {zi}(t)$ 所含的待定系数数量减少，代入初始值后可能会出现无解或者多解的情况。
系统稳定性¶
系统的稳定性指的是一个系统在激励函数有界时，响应函数也有界，即 BIBO（boundary-input，boundary-output）特性。
系统稳定的零输入响应要求¶
从零输入响应上来看，系统一开始有初始储能，将按照系统的固有频率进行响应。极点就反映了这种固有频率。
方程 $D(s)=0$ 的一个 $s=\sigma+\mathrm j\omega$ 的单根对应零输入响应中的一个分量 $\mathrm e^{\sigma t}(C _ 1\sin \omega t+C _ 2\cos \omega t)\varepsilon(t)$，要保证这些零输入响应的分量都是有界的，即 $\sigma\leq 0$。对于多重根，响应分量前面会多出 $t^k$ 因子，有界的条件是 $\sigma < 0$。
这里找到的是系统稳定的充分条件。满足上面的条件的系统可能是有界的，不满足上面条件的系统一定是无界的。
系统稳定的零状态响应要求¶
从零状态响应上来看，系统稳定与系统的冲激响应 $h(t)$ 绝对可积是等价的，即式 $(6.7)$ 是系统稳定的充要条件。 $$\int _ {-\infty}^{+\infty}|h(t)|\mathrm dt<\infty\tag{6.7}$$
临界稳态¶
上面分别从零输入响应和零状态响应角度讨论了系统稳定的条件，可以确定：
- 系统任意极点 $\sigma<0$，则系统一定是稳定的。
- 系统存在极点 $\sigma >0$，则系统一定是不稳定的。
- 系统存在二阶以上的极点 $\sigma=0$，则系统一定是不稳定的。
上面 $3$ 种情况不能涵盖所有的情形。还有一种特殊情况，即系统不存在右半平面 $(\sigma >0)$ 的极点，也不存在虚轴 $(\sigma =0)$ 上的二阶以上极点，但是有虚轴上的一阶极点 $s _ 0=\pm\mathrm j\omega _ 0$。
- 从零输入响应角度看，它可能稳定。
- 从零状态响应角度看，这个一阶极点 $s _ 0$ 必然产生等幅正弦分量 $h(t)=A\cos(\omega _ 0 t+\varphi)$ ，不满足绝对可积条件 $(6.7)$，故不稳定。
这种情况还蛮有意思，绝大部分的激励 $e(t)$ 给到这个系统都能满足 BIBO 条件。仅有少数个的特征频率刚好等于 $s _ 0$ 的激励 $e(t)$ 使得响应 $r(t)$ 无界。
于是这种情况叫做临界稳态。有的地方将其归为不稳定的一种特殊情况，但是它绝对不会是稳定的。