8 离散时间系统的变换域分析
这一章主要是变换到 $2$ 个域去分析，一个是 $z$ 域（$z$ 变换），另一个是频域（离散时间序列的傅里叶变换，DTFT）。
$z$ 变换¶
课本上引出 $z$ 变化的方式是极为巧妙的。对于下面的连续时间信号 $$f _ \delta(t)=f(t)\cdot\delta _ T(t)=\sum _ {n=-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-nT)\tag{8.1}$$
对它进行拉普拉斯变换 $$F _ \delta(s)=\sum _ {n=-\infty}^{+\infty}f(nT)\mathrm e^{-snT}\tag{8.2}$$
令 $z=\mathrm e^{sT}$，并记 $F _\delta(s)=F(z)$，$f(nT)$ 为 $f(n)$，有 $$F(z)=\sum _ {n=-\infty}^{+\infty}f(n)z^{-n}\tag{8.3}$$
这样就把离散时间系统中的 $z$ 变换建立在连续时间系统的拉普拉斯变换之上，从而拥有了理论依据。
从 $z=\mathrm e^{sT}$ 这一式子中，我们可以得到 $z$ 变换的收敛域。对该式两边同时取模可得
$$|z|=\left|\mathrm e^{(\sigma+\mathrm j\omega)T}\right|=\mathrm e^{\sigma T}\tag{8.4}$$
在连续时间系统的系统函数已经得到系统稳定的充要条件是所有极点 $s$ 满足 $\sigma<0$，根据式 $(8.4)$ 可知，$z$ 域中系统稳定的充要条件是对于所有极点 $z$ 有 $|z|<1$。
同时，还能发现 $s$ 与 $z$ 之间是多对一的关系。如果 $z _ 0=\mathrm e^{s _ 0T}$，那么 $z _ 0=\mathrm e^{s _ 0T+2k\pi\mathrm j}(k\in\mathbb Z)$。
| 公式编号 | $f(n)$ | $F(z)$ |
|---|---|---|
| $1$ | $\delta(n)$ | $1$ |
| $2$ | $\varepsilon(n)$ | $\cfrac{z}{z-1}$ |
| $3$ | $v^n\varepsilon(n)$ | $\cfrac{z}{z-v}$ |
| $4$ | $v^{n-1}\varepsilon(n-1)$ | $\cfrac{1}{z-v}$ |
| $5$ | $n\varepsilon(n)$ | $\cfrac{z}{(z-1)^2}$ |
| $6$ | $\cos(\beta nT)\varepsilon(n)$ | $\cfrac{z(z-\cos\beta T)}{z^2-2z\cos\beta T+1}$ |
| $7$ | $\sin(\beta nT)\varepsilon(n)$ | $\cfrac{z\sin\beta T}{z^2-2z\cos\beta T+1}$ |
上表第 $6,7$ 项可以从第 $3$ 项由欧拉公式推得。
关于反 $z$ 变换
根据象函数 $F(z)$ 求原函数 $f(n)$，大多数时候查上面的表就行了。
$z$ 变换的性质¶
$z$ 变换具有线性性，尺度变换特性 $a^nf(n)\leftrightarrow F\left(\cfrac{z}{a}\right)$。包括微分特性、初值定理、终值定理，这些不需要刻意去记，可以现场推。主要是移序性质和卷积定理。
移序性质¶
其实这个也可以现场推导，也可以记忆一下： $$f(n+m)\leftrightarrow\begin{cases}\displaystyle z^m\left[F(z)-\sum _ {k=0}^{m-1}f(k)z^{-k}\right],&m\geq1\\\displaystyle z^m\left[F(z)+\sum _ {k=m}^{-1}f(k)z^{-k}\right],&m\leq-1\end{cases}\tag{8.5}$$
卷积定理¶
$z$ 变换的卷积定理只涉及到时域卷积。 $$f _ 1(n)f _ 2(n)\leftrightarrow F _ 1(z)F _ 2(z)\tag{8.6}$$
离散时间傅里叶变换（DTFT）¶
首先对离散时间系统的 $\omega$ 有一个比较清醒的认识，这个 $\omega$ 不再是物理频率。$\sin(\omega t)$ 和 $\sin[(\omega+2\pi)t]$ 是两个频率不同的连续时间正弦信号，而 $\sin(\omega n)$ 和 $\sin[(\omega+2\pi)n]$ 是两个完全相同的离散时间正弦信号。
DTFT 正变换是
$$F(\mathrm e^{\mathrm j\omega})=\sum _ {n=-\infty}^{+\infty}f(n)\mathrm e^{-\mathrm j\omega n}\tag{8.7}$$
对比式 $(8.7)$ 与 CTFT（连续时间傅里叶变换）正变换(1)，有几个注意点。
- $\displaystyle F(\omega)=\int _ {-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm e^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt$
- 此（DTFT）$\omega$ 非彼（CTFT）$\omega$。
- $F(\mathrm e^{\mathrm j\omega})$ 说到底只是一个记号，记成 $F(\omega)$ 或者 $F(\mathrm j\omega)$ 其实都没事。使用这种记法突出 $F(\cdot)$ 是一个周期函数。
- $F(\mathrm e^{\mathrm j\omega})$ 的定义域是连续的（连续频谱），或者说它是“连续频率信号”。主要区分 $f(n)$ 是离散时间信号。
DTFT 反变换是 $$f(n)=\cfrac{1}{2\pi}\int _ {-\pi}^\pi F(\mathrm e^{\mathrm j\omega})\mathrm e^{\mathrm j\omega n}\mathrm d\omega\tag{8.8}$$
对比式 $(8.8)$ 与 CTFT 反变换(1)，需要注意积分上下限改变了，可以是任意的宽度为 $2\pi$ 的区间。
- $\displaystyle f(t)=\cfrac{1}{2\pi}\int _ {-\infty}^{+\infty} F(\omega)\mathrm e^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega$
注意 DTFT（离散时间傅里叶变换）和 DFS（离散序列傅里叶级数）是不同的两个概念。
$ \boxed{\mathbb{The\ End}.} $