10 电磁感应
感应电动势¶
电源电动势，是非静电场场强 $ \boldsymbol E _ \mathrm{k} $ 从负极到正极的曲线积分： $$\mathscr{E}=\int _ -^+\boldsymbol E _ \mathrm{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{10.1}$$
比如动生电动势的情况下，就有 $ \boldsymbol E _ \mathrm{k}=\boldsymbol{v\times B} $，此时的非静电力是洛伦兹力。有些情况这种非静电力分散在回路的各个角落，分不清电源正负极，那么 $$\mathscr{E}=\oint _ L\boldsymbol E _ \mathrm{k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{10.2}$$
沿着闭合回路积分即可。动生电动势中，如果金属导体本身构成了回路，就适用式 $ (10.2). $ 感生电动势也属于这种情况，非静电场是感应电场，感应电动势分布在导体的各个部分。
感应电场具有有旋场的性质，是一个非保守场，当然不能引入电势的概念。但是，对于
不过，所求的电动势如果是感应电动势的话，除了电动势的定义，也不要忘掉唯一真神——法拉第电磁感应定律：
$$\mathscr{E} _ \mathrm i=-\cfrac{\mathrm d\varPhi}{\mathrm dt}\tag{10.3}$$
如果导体构成的回路不随时间变化，即 $ S $ 是常量，那么式 $ (10.3) $ 也可以写成： $$\mathscr E _ \mathrm i =-\int \cfrac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\boldsymbol\cdot\mathrm d\boldsymbol S\tag{10.4}$$
这个在感生电动势中使用得比较多。
磁场能量¶
和电场一样，磁场本身也具有能量。
| 电场 | 磁场 | |
|---|---|---|
| 能量 | 电容中 $$W _ \mathrm e =\cfrac{1}{2}CU^2$$ |
电感中 $$W _ \mathrm m =\cfrac{1}{2}LI^2$$ |
| 能量密度 | $$w _ \mathrm e=\cfrac{1}{2}\boldsymbol{E\cdot D}=\cfrac{1}{2}\varepsilon E^2$$ | $$w _ \mathrm m=\cfrac{1}{2}\boldsymbol{B\cdot H}=\cfrac{B^2}{2\mu}$$ |
麦克斯韦方程组（Maxwell’s Equations）¶
麦克斯韦方程组的前两式表示了电场、磁场本身的特性。电场有源，磁场无源： $$\oint _ S\boldsymbol{D\cdot}\mathrm d\boldsymbol S=\sum q=\int _ V \rho\mathrm dV\tag{10.5}$$
$$\oint _ S\boldsymbol{B\cdot}\mathrm d\boldsymbol S=0\tag{10.6}$$
式Ⅲ是经典的“磁生电”： $$\oint _ L \boldsymbol{E\cdot}\mathrm d\boldsymbol l=-\int _ S \cfrac{\partial\boldsymbol B}{\partial t}\boldsymbol\cdot \mathrm d\boldsymbol S\tag{10.7}$$
个人感觉麦克斯韦方程组的核心是位移电流概念的引入。空间中电位移矢量的变化 $ \cfrac{\partial\boldsymbol D}{\partial t} $ （单位 $ \mathrm{A/m^2} $ ）具有和传导电流 $ I $ 一样的磁效应，从而修正了安培环路定理： $$\oint _ L\boldsymbol{H\cdot}\mathrm d\boldsymbol l=I+I _ d=\int _ S\left(\boldsymbol j+\cfrac{\partial \boldsymbol D}{\partial t}\right)\boldsymbol\cdot\mathrm d\boldsymbol S\tag{10.8}$$
这是方程组的式Ⅳ，定量描述“电生磁”。
同时，注意位移电流是真实存在的。意思不是说位移电流是一种真正意义上的电流，这是一个比较抽象的事情。