11 振动与波动

频率相同、方向垂直的简谐运动合成

  运动可以用参数方程描述： $$\begin{cases} x=A _ 1\cos(\omega t+\varphi _ 1)\\ y=A _ 2\cos(\omega t+\varphi _ 2)\end{cases}\tag{11.1}$$

  我们已经知道消去 $ t $ 后的运动方程是 $$\cfrac{x^2}{A _ 1^2}+\cfrac{y^2}{A _ 2^2}-\cfrac{2xy}{A _ 1A _ 2}\cos(\varphi _ 2-\varphi _ 1)=\sin^2(\varphi _ 2-\varphi _ 1)\tag{11.2}$$

  可以是这样推导的。记 $ \theta _ 1=\omega t+\varphi _ 1,\theta _ 2=\omega t+\varphi _ 2 $。 $$\begin{aligned}\sin^2(\varphi _ 2-\varphi _ 1)&=\sin^2(\theta _ 2-\theta _ 1)\\ &=(\sin\theta _ 2\cos\theta _ 1-\cos\theta _ 2\sin\theta _ 1)^2\\ &=(1-\cos^2\theta _ 2)\cos^2\theta _ 1+(1-\cos^2\theta _ 1)\cos^2\theta _ 2-2\cos\theta _ 1\cos\theta _ 2\sin\theta _ 1\sin\theta _ 2\\ &=\cos^2\theta _ 1+\cos^2\theta _ 2-2\cos \theta _ 1\cos\theta _ 2(\cos\theta _ 1\cos\theta _ 2+\sin\theta _ 1\sin\theta _ 2)\\ &=\cfrac{x^2}{A _ 1^2}+\cfrac{y^2}{A _ 2^2}-\cfrac{2xy}{A _ 1A _ 2}\cos(\theta _ 2-\theta _ 1)\\ &=\cfrac{x^2}{A _ 1^2}+\cfrac{y^2}{A _ 2^2}-\cfrac{2xy}{A _ 1A _ 2}\cos(\varphi _ 2-\varphi _ 1)\end{aligned}\tag{11.3}$$

阻尼振动

  阻尼振动的方程为 $$\cfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm dt^2}+2\beta\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+\omega _ 0^2x=0\tag{11.4}$$

  书上只说明了在弱阻尼情况下 $ (\beta < \omega _ 0) $ 的通解： $$x=A _ 0\mathrm{e}^{-\beta t}\cos\left(\sqrt{\omega _ 0^2-\beta^2}t+\varphi _ 0\right)\tag{11.5}$$

  实际上我们可以对微分方程 $ (11.4) $ 进行求解。它的特征方程是： $$\lambda^2+2\beta\lambda+\omega _ 0^2=0\tag{11.6}$$

  这是一个一元二次方程，判别式 $ \Delta=4(\beta^2-\omega _ 0^2) $。
  在弱阻尼 $ (\beta < \omega _ 0) $ 情况下， $ \Delta < 0 $ ，记 $ \omega=\sqrt{\omega _ 0^2-\beta^2} $ ，式 $ (11.6) $ 有共轭复根 $$\lambda _ {1,2}=-\beta\pm\omega \mathrm{i}\tag{11.7}$$

  从而得到 $ (11.4) $ 的解为 $ x=\mathrm{e}^{-\beta t}(C _ 1\cos\omega t+C _ 2\sin\omega t) $。这一形式同式 $ (11.5) $。
  在过阻尼 $ (\beta > \omega _ 0) $ 情况下， $ \Delta > 0 $ ，记 $ \omega^\prime=\sqrt{\beta^2-\omega _ 0^2} $ ，式 $ (11.6) $ 有两根 $$\lambda _ {1,2}=-\beta\pm\omega^\prime\tag{11.8}$$

  此时运动方程 $ (11.4) $ 的解的形式为 $$x=\mathrm e^{-\beta t}(A _ 1\mathrm e^{\omega^\prime t}+A _ 2\mathrm e^{-\omega^\prime t})\tag{11.9}$$

  在临界阻尼 $ (\beta = \omega _ 0) $ 情况下， $ \Delta =0 $ ，此时 $ (11.6) $ 有重根 $$\lambda _ {1,2}=-\beta\tag{11.10}$$

  也可以由此得到运动方程 $ (11.4) $ 的解为 $$x=\mathrm e^{-\beta t}(A _ 0+A _ 1t)\tag{11.11}$$

  可以统一 $ (11.4) $ 的解的形式为 $ x=\mathrm e^{-\beta t}f(t) $。临界阻尼情况下的 $ f(t) $ 是多项式，过阻尼情况下的 $ f(t)\sim \mathrm e^{|\omega^\prime|t} $ 是指数阶，所以临界阻尼衰减得比过阻尼快。

波的能量

  机械波 $ y(x,t)=A\cos\left[\omega\left(t-\cfrac{x}{u}\right)+\varphi\right] $ 在密度为 $ \rho $ 的介质中传播时，在任意时刻，某一质元的动能和势能都是相等的。
  波的平均能量密度 $ \overline w=\cfrac{1}{2}\rho A^2\omega^2 $。
  波的平均能流密度 $ I=\overline wu=\cfrac{1}{2}\rho A^2\omega^2u $。

多普勒效应

  当波源（Source）和接收器（Receiver）以接近速度 $ v _ S $ 和 $ v _ R $ 相对运动时，有 $$\nu _ R=\cfrac{u+v _ R}{u-v _ S}\nu _ S\tag{11.12}$$

  这是机械波的多普勒效应，观测者体现在分子，波源体现在分母。其实为了方便记忆，可以将式 $ (11.12) $ 变形为式 $ (11.13) $ ： $$\cfrac{\nu _ R}{u+v _ R}=\cfrac{\nu _ S}{u-v _ S}\tag{11.13}$$

  接收器在左边，波源在右边。至于 $ v _ R,v _ S $ 前的符号，可以根据常识推断。
  如果是电磁波的多普勒效应，那就需要考虑相对论因素： $$\nu _ R=\sqrt{\cfrac{c+v}{c-v}}\nu _ S\tag{11.14}$$

  方便记忆，也可以变形为如下形式： $$\cfrac{\nu _ R}{\sqrt{c+v}}=\cfrac{\nu _ S}{\sqrt{c-v}}\tag{11.15}$$

其他想说的

  劲度系数分别为 $ k _ 1,k _ 2 $ 的两根轻弹簧，首尾相连（串行连接）构成劲度系数为 $ \cfrac{k _ 1k _ 2}{k _ 1+k _ 2} $ 的弹簧。如果是把头与头相连、尾与尾相连（并行连接），则构成劲度系数为 $ k _ 1+k _ 2 $ 的弹簧。