9 恒定磁场
《大学物理（下）》其实也有点难度。其中的光学篇，由于在高中时期没有接触过，因此难免在理解上出现一些问题。
毕奥-萨伐尔定律¶
磁场和电场在很多性质上是有共性的，很多时候可以拿它们两个相互对比。
恒定磁场最基础的公式是毕奥-萨伐尔定律：
$$\textrm{d}\boldsymbol B=\cfrac{\mu _ 0}{4\pi}\cfrac{I\textrm{d}\boldsymbol l\times\boldsymbol e _ r}{r^2}\tag{9.1}$$
其中 $ \varphi _ 1,\varphi _ 2 $ 是该点与导线两端的连线和导线所成的夹角。无限长直载流导线激发的磁场，其实就是 $ (9.1) $ 式在 $ \varphi _ 1=0,\varphi _ 2=\pi $ 时的情况： $$B=\cfrac{\mu _ 0I}{2\pi r}\tag{9.3}$$
通过毕奥-萨伐尔定律，还能够算得半径为 $ R $ 的圆环电流 $ I $ 在其轴线上坐标为 $ x $ 的点处产生的磁场大小 $$B=\cfrac{\mu _ 0I}{2(R^2+x^2)^{3/2}}\tag{9.4}$$
这个能够自行推导，感觉就足够了，倒也不是特别好记。
磁偶极子¶
磁偶极子可以认为是一个平面环形电流，只有当这个环的线度在问题中可以忽略时，才能把它作为磁偶极子处理。
这很容易让我们联想到电偶极子。两者之间的对比如下：
| 电偶极子 | 磁偶极子 | |
|---|---|---|
| 定义式 | $$\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{l}=ql\boldsymbol{e} _ \mathrm{r}$$ | $$\boldsymbol{m}=I\boldsymbol{S}=IS\boldsymbol{e} _ \mathrm{n}$$ |
| 激发的电磁场 | 中垂面上的电场 $$\boldsymbol{E}=-\cfrac{\boldsymbol{p}}{4\pi\varepsilon _ 0r^3}$$ |
中垂线上的磁场 $$\boldsymbol{B}=\cfrac{\mu _ 0\boldsymbol{m}}{2\pi r^3}$$ |
| 在电磁场中受到力矩 | 在电场 $ \boldsymbol{E} $ 中 $$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{E}$$ |
在磁场 $ \boldsymbol{B} $ 中 $$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{B}$$ |
电偶极子在电场中受到力矩作用，达到稳定平衡状态时电矩与电场方向相同，能够解释有极分子的取向极化；磁偶极子在磁场中受到力矩作用，达到稳定平衡状态时磁矩与磁场方向相同，能够解释顺磁质的磁化。
磁场的高斯定理与安培环路定理¶
磁场的高斯定理 $$\oint _ S \boldsymbol{B\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0\tag{9.5}$$
说明磁场是
在恒定磁场中，安培环路定理也经常被应用： $$\oint _ L\boldsymbol{B\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu _ 0I\tag{9.7}$$
洛伦兹力与安培力¶
主要想谈谈其矢量式中各个量摆放顺序的问题。
洛伦兹力
$$\boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v\ \times B}\tag{9.8}$$
安培力 $$\boldsymbol{F}=I\boldsymbol{L\ \times B}\tag{9.9}$$
观察 $ (9.8) $ 式和 $ (9.9) $ 式，发现它们都能写成“电量·运动量×场量”的形式。其中粗体为矢量。
磁化强度 $ \boldsymbol{M} $ 与磁场强度 $ \boldsymbol{H} $¶
我们通常习惯于用磁感应强度 $ \boldsymbol{B} $ 来描述磁场，用电场强度 $ \boldsymbol{E} $ 来描述电场。当电磁场中存在介质的时候，这种描述方法是不好的。
磁化强度 $ \boldsymbol{M} $ 与磁场强度 $ \boldsymbol{H} $ 是为了研究磁介质的磁化，在磁感应强度 $ \boldsymbol{B} $ 的基础上上又增加的两个磁场量。在研究电介质的极化时也曾引入电极化强度 $ \boldsymbol{P} $ 和电位移矢量 $ \boldsymbol{D} $。下面对这些量进行对比分析。
磁化强度 $ \boldsymbol{M} $ 与电极化强度 $ \boldsymbol{P} $¶
磁化强度 $ \boldsymbol{M} $ 的定义与电极化强度 $ \boldsymbol{P} $ 的定义式非常相似：
$$\boldsymbol{M}=\cfrac{\sum\limits _ {i=1}^n\boldsymbol{m} _ i }{\Delta V}\qquad \boldsymbol{P}=\cfrac{\sum\limits _ {i=1}^n\boldsymbol{p} _ i }{\Delta V}\tag{9.10}$$
磁化强度 $ \boldsymbol{M} $ 描述磁介质受到磁化的情况，而磁介质磁化时伴有磁化电流 $ I^\prime $。所以这两者还是有联系的：
$$\oint _ L\boldsymbol{M\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol l=\sum I^\prime\tag{9.11}$$
其中，$ \sum I^\prime $ 表示穿过环路 $ L $ 的所有磁化电流之和。
类似地，电极化强度 $ \boldsymbol{P} $ 描述电介质在外电场中产生的极化情况，而电介质极化时会产生束缚电荷 $ q^\prime $。这两者有如下的联系：
$$\oint _ S\boldsymbol{P\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol S=-\sum q^\prime\tag{9.12}$$
其中，$ \sum q^\prime $ 表示高斯面 $ S $ 内所有的束缚电荷之和。式 $ (9.11) $ 与 $ (9.12) $ 在形式上非常相似，需要注意的是式 $ (9.12) $
磁场强度 $ \boldsymbol H $ 和电位移矢量 $ \boldsymbol D $¶
磁场强度 $ \boldsymbol{H} $，给我带来的直观感受是，它是磁感应强度 $ \boldsymbol{B} $ 在磁介质存在情况下，为了保证某种连续性而定义的表征磁场的量。这是它的定义式 $$\boldsymbol{H}=\cfrac{\boldsymbol B}{\mu _ r\mu _ 0}=\cfrac{\boldsymbol B}{\mu}\tag{9.13}$$
可以看到，连接磁场强度 $ \boldsymbol H $ 与磁感应强度 $ \boldsymbol B $ 的桥梁是磁导率 $ \mu $。
在没有磁介质的情况下，磁感应强度 $ \boldsymbol{B} $ 在空间内是连续的，因此磁感线也是连续的。但是，在有磁介质的情况下，磁感应强度矢量 $ \boldsymbol{B} $ 将会失去它的空间连续性，也就是说，$ \boldsymbol B $ 会
当然，对于电场强度 $ \boldsymbol E $ 和电极化强度 $ \boldsymbol D $ 来说，上面的性质也是成立的。在空间中存在电介质的情况下，$ \boldsymbol E $ 的空间连续性将失去，$ \boldsymbol D $ 的空间连续性将被保留。教材中对于 $ \boldsymbol D $ 的引入是下式：
$$\boldsymbol D=\varepsilon _ 0\boldsymbol E+\boldsymbol P\tag{9.14}$$
我认为这样的引入很不妥当。可以给出类似式 $ (9.13) $ 的定义： $$\boldsymbol D=\varepsilon _ r\varepsilon _ 0\boldsymbol E=\varepsilon \boldsymbol E\tag{9.15}$$
从式 $ (9.15) $ 能够看到，电位移矢量 $ \boldsymbol D $ 与电场强度 $ \boldsymbol E $ 之间是通过介电常数 $ \varepsilon $ 联系起来的。
此外，我们发现磁场强度 $ \boldsymbol H $ 与磁化强度 $ \boldsymbol M $ 具有相同的量纲，实际上也有积分式
$$\oint _ L\boldsymbol{H\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol l=\sum I\tag{9.16}$$
其中，$ \sum I $ 表示穿过环路 $ L $ 的所有传导电流之和。我们大致能够得出这样的结论： $ \boldsymbol H $ 描述的是空间某点本来的磁场，$ \boldsymbol M $ 描述这一点由磁介质产生的磁场，$ \boldsymbol B $ 是由前面两个磁场叠加得到的、描述该点实际磁场情况的物理量。这正如式 $ (9.17) $ 所描述的那样。 $$\oint _ L(\boldsymbol H+\boldsymbol M)\ \boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l=\sum(I+I^\prime)=\oint _ L \cfrac{\boldsymbol B}{\mu _ 0}\boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{9.17}$$
类似地，在存在电介质的电场中，我们也有式 $ (9.18) $ 和式 $ (9.19) $。 $$\oint _ S\boldsymbol{D\ \cdot}\mathrm{d}\boldsymbol S=\sum q\tag{9.18}$$
$$\oint _ S(\boldsymbol D-\boldsymbol P)\ \boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol S=\sum(q+q^\prime)=\oint _ S \varepsilon _ 0\boldsymbol E\boldsymbol\cdot\mathrm{d}\boldsymbol l\tag{9.19}$$
式 $ (9.18) $ 中，$ \sum q $ 表示高斯面 $ S $ 内所有的自由电荷之和。
磁化电流面密度¶
首先应指出，电流面密度
磁化电流是上面的第二种，用磁化电流面密度 $ i _ \mathrm{m} $ 描述。一般要求 $ i _ \mathrm{m} $ 有两种思路，第一种是根据定义：
$$i _ \mathrm{m}=\cfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}L}=\cfrac{I}{L}\tag{9.20}$$
其中 $ i _ \mathrm{m}=\cfrac{I}{L} $ 只适合于电流沿 $ L $ 均匀分布的情况。如果题目中给出了，或者可以求得磁化强度 $ \boldsymbol M $，也可以采用第二种求法： $$\boldsymbol i _ \mathrm{m}=\boldsymbol{M\ \times e} _ \mathrm{n}\tag{9.21}$$
其中 $ \boldsymbol e _ \mathrm{n} $ 是磁介质表面法向单位矢量。此时磁化电流面密度的大小 $ i _ \mathrm{m}=M $。