1 函数
《微积分学》是大一开设的一门课程，后续因为参加 CMC 需要复习其中的内容，故专门开了这一栏。
高等数学起步¶
作为中数和高数的衔接章节，基本没有介绍太多新东西。有一些概念，如领域 $N(a,\sigma)=(a-\sigma,a+\sigma)$，去心领域 $\overset{\circ}{N}(a,\sigma)=(a-\sigma,a)\cap(a,a+\sigma)$，引入了 Dirichlet 函数 $D(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb Q,\\0,&x\in\mathbb R-\mathbb Q\end{cases}$，任何有理数 $q$ 都是 $D(x)$ 的周期，且 $D(x)$ 没有最小正周期。
同时，还介绍了一些二级结论：周期函数 $f _ 1(x)$ 的周期为 $T _ 1$，$f _ 2(x)$ 的周期为 $T _ 2$，则 $f _ 1(x) + f _ 2 (x)$ 是周期函数当且仅当 $\cfrac{T _ 1}{T _ 2}\in \mathbb Q$。
新的初等函数¶
反三角函数¶
引入了四个反三角函数：
| 反三角函数 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|
| $f(x)=\arcsin x$ | $[-1,1]$ | $\left[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\right]$ |
| $f(x)=\arccos x$ | $[-1,1]$ | $[0,\pi]$ |
| $f(x)=\arctan x$ | $\mathbb R$ | $\left[-\cfrac{\pi}{2},\cfrac{\pi}{2}\right]$ |
| $f(x)=\operatorname{arccot} x$ | $\mathbb R$ | $[0,\pi]$ |
$\LaTeX$ 似乎不认 $\operatorname{arccot}$ 这个函数。
值得注意的是，三角函数本身具备和角公式、倍角公式，使得反三角函数也具备类似的性质。如 $$2\arccos x=\arccos(2x^2-1)\tag{1.1}$$ $$\arctan x+\arctan y=\arctan\cfrac{x+y}{1-xy}\tag{1.2}$$
双曲函数¶
介绍了四个双曲函数： $$\begin{cases}\sinh x=(\mathrm e^x-\mathrm e^{-x})/2\\\cosh x=(\mathrm e^x+\mathrm e^{-x})/2\\\tanh x=\sinh x/\cosh x\\\coth x=1/\tanh x\end{cases}\tag{1.3}$$
双曲函数 $\sinh(x),\cosh(x)$ 有着和三角函数 $\sin(x),\cos(x)$ 极其类似的和角、差角公式，也有极其类似的二倍角公式 $$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x\tag{1.4}$$ $$\cosh 2x=2\cosh^2x -1\tag{1.5}$$ 唯一与三角函数不同的是 $$\cosh^2x-\sinh^2x=1\tag{1.6}$$
一些初等数学二级结论¶
有一些二级结论的导出不需要本课程作为知识基础，其中一些做题时（CMC）将会使用到。
系列余弦和¶
首先给出结论 $$\sum _ {k=1}^n\cos k\theta = \cos\cfrac{n+1}{2}\theta\cdot\cfrac{\sin(n\theta/2)}{\sin (\theta/2)}\quad(\theta\neq 2k\pi,k\in\mathbb Z)\tag{1.7}$$
这个结论可以使用初等代数方法证明(1)，也可以使用几何方法证明(2)。在掌握欧拉公式之后，还可以有一种更快的证明方法(3)。
实际上还有正弦和
$$\sum _ {k=1}^n\sin k\theta = \sin\cfrac{n+1}{2}\theta\cdot\cfrac{\sin(n\theta/2)}{\sin (\theta/2)}\quad(\theta\neq 2k\pi,k\in\mathbb Z)\tag{1.8}$$
- 通过给求和式乘上 $\sin(\theta/2)$，根据积化和差公式构造出可以裂项的通项，从而前后项相消。根据积化和差公式有 $$\cos k\theta\sin(\theta/2) = \cfrac{1}{2}\left[\sin\left(k+\cfrac{1}{2}\right)\theta-\sin\left(k-\cfrac{1}{2}\right)\theta\right]$$ 从而 $$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\cfrac{1}{2\sin(\theta/2)}\sum _ {k=1}^n\left[\sin\left(k+\cfrac{1}{2}\right)\theta-\sin\left(k-\cfrac{1}{2}\right)\theta\right]\\&=\cfrac{1}{2\sin(\theta/2)}\left[\sin\left(n+\cfrac{1}{2}\right)\theta-\sin\theta/2\right]\\ &=\cfrac{1}{2\sin(\theta/2)}\left[\sin\left(\cfrac{n+1}{2}+\cfrac{n}{2}\right)\theta-\sin\left(\cfrac{n+1}{2}-\cfrac{n}{2}\right)\theta\right]\\ &=\cfrac{1}{2\sin(\theta/2)}\cdot 2\cos\left(\cfrac{n+1}{2}\right)\theta\sin(n\theta/2)=\mathrm{RHS}\end{aligned}$$
- 如下图所示，$n$ 个向量 $\vec{A _ iA _ {i+1}}(i=1,2,\cdots,n)$ 首尾相连构成了一个图形，该图形向下投影到线段 $B _ 1B _ {n+1}$，则 $$\mathrm{LHS}=|B _ 1B _ {n+1}|$$ 根据图形的对称性，可得 $\alpha=(n+1)\theta/2$。同时我们发现 $A _ i(i=1,2,\cdots,n+1)$ 共圆，且 $$\angle A _ iOA _ {i+1}=\theta(i=1,2,\cdots,n)$$ $$r=OA _ i(i=1,2,\cdots,n+1)=\cfrac{1}{2\sin(\theta/2)}$$ 因此 $$\mathrm{LHS}=|A _ 1A _ {n+1}|\cos\alpha=2r\sin(\beta/2)\cos\alpha$$ 又因为 $\beta=n\theta$，代入上式即可得证。
- $$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\cfrac{1}{2}\sum _ {k=1}^n(\mathrm e^{\mathrm ik\theta}+\mathrm e^{-\mathrm ik\theta})\\ &=\cfrac{1}{2}\sum _ {k=-n}^n\mathrm e^{\mathrm ik\theta}-\cfrac{1}{2}\\&=\cfrac{\mathrm e^{-\mathrm in\theta}[1-\mathrm e^{\mathrm i(2n+1)\theta}]}{2(1-\mathrm e^{\mathrm i\theta})}-\cfrac{1}{2}\\&=\cfrac{\mathrm e^{-\mathrm i(n+1/2)\theta}-\mathrm e^{\mathrm i(n+1/2)\theta}}{2(\mathrm e^{-\mathrm i\theta/2}-\mathrm e^{\mathrm i\theta/2})}-\cfrac{1}{2}\\&=\cfrac{\sin(n+1/2)\theta}{2\sin(\theta/2)}-\cfrac{1}{2}\\&=\cfrac{\sin(n+1/2)\theta-\sin(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)}=\mathrm{RHS}\end{aligned}$$ 最后一步使用的是和差化积，详细过程略。