10 重积分
关于变量代换¶
重积分通过变量代换计算时，需要乘上 $|J|$。下面总结几个常见的变量代换
| 代换名称 | 积分重数 | $|J|$ | 变换式 |
|---|---|---|---|
| 极坐标代换 | $2$ | $r$ | $\displaystyle\iint\limits _ Df(x,y)\mathrm d\sigma=\int _ \alpha ^\beta\mathrm d\theta\int _ {r _ 1(\theta)}^{r _ 2(\theta)}rf(r\cos\theta,r\sin\theta)\mathrm dr$ |
| 柱面坐标代换 | $3$ | $r$ | $\displaystyle\iiint\limits _ Vf\mathrm dv=\int _ \alpha ^\beta\mathrm d\theta\int _ {r _ 1(\theta)}^{r _ 2(\theta)}r\mathrm dr\int _ {z _ 1(r,\theta)}^{z _ 2(r,\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\mathrm dz$ |
| 球面坐标代换 | $3$ | $\rho^2\sin\varphi$ | $\displaystyle\iiint\limits _ Vf\mathrm dv=\int _ \alpha ^\beta\mathrm d\theta\int _ {\varphi _ 1(\theta)}^{\varphi _ 2(\theta)}\sin\varphi\mathrm d\varphi\int _ {\rho _ 1(\theta,\varphi)}^{\rho _ 2(\theta,\varphi)}f\rho^2\mathrm d\rho$ |
根据上面的变换式，应该很容易看出积分限该怎么确定。
重积分的应用¶
主要是求取曲面面积 $$S=\iint\limits _ D\sqrt{1+z _ x^2+z _ y^2}\mathrm dx\mathrm dy\tag{10.1}$$
如果通过 $z=z(x,y)$ 求面积不方便，也可以换一个视角，比如 $x=x(y,z)$ 什么的，当然前提是它存在。