11 曲线积分与曲面积分

曲线积分¶

第一型曲线积分¶

第一型曲线积分的值与方向无关。无论是从曲线上 $A\to B$ 还是 $B\to A$，结果都应是一样的。计算过程中最麻烦的问题就是如何处理 $\mathrm ds$ 这个弧微分，一般都是采用曲线的参数方程化为定积分。
对于空间曲线 $L$ 而言，若它可以由 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)(\alpha\leq t\leq\beta)$ 确定，那么有 $$\int _ Lf\mathrm ds=\int _ \alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)}\mathrm dt\tag{11.1}$$

这是一个比较普适的方法。其中限制条件是 $x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)\neq 0$，这确保了 $L$ 不会退化为一个点。
若 $L$ 可由 $x=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta,z=z(\theta)(\alpha\leq\theta\leq\beta)$ 确定，那么有 $$\int _ Lf\mathrm ds=\int _ \alpha^\beta f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta,z(\theta))\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)+z^{\prime 2}(\theta)}\mathrm d\theta\tag{11.2}$$

但是，不是所有的空间曲线都能用这种柱坐标参数方程表示，所以这种方式具有一定的局限性。

第二型曲线积分¶

第二型曲线积分有着很多表示形式，如 $$\int _ L\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r=\int _ L\boldsymbol F\cdot\boldsymbol\tau\mathrm ds=\int _ LP\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz\tag{11.3}$$

对于它的计算，往往也是采用曲线的参数方程化为定积分。

分辨第一型与第二型曲线积分

首先，在积分号下面有一个 $L$ 表示积分路径的，是曲线积分；否则是定积分。在曲线积分中，一般给出 $\mathrm ds$ 的是第一型，给出 $\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$ 的组合的是第二型。

Green 公式¶

Green 公式是计算第二型曲线积分的利器，将其转化为二重积分。遗憾的是 Green 公式所对应的曲线被限定为平面曲线。对于空间曲线，还得使用Stokes 公式才行。
Green 公式的表述为：设区域 $D$ 由 $xy$ 平面上的简单闭曲线 $L$ 围成，函数 $P,Q$ 在 $D$ 上（包含边界）有连续的一阶偏导数(1)，则成立如下公式

这个连续偏导数的存在十分重要。如果 $L _ 1$ 在其内部点 $A$，$P$ 或者 $Q$ 在这一点的偏导数不连续，需要挖掉包含 $A$ 的一小块区域，对 $L=L _ 1+L _ 2$ 使用 Green 公式化为区域 $D$ 上的二重积分。对于 $L _ 2$ 的曲线积分，使用其他方法计算。

$$\oint _ LP\mathrm dx+Q\mathrm dy=\iint \limits _ D(Q _ x-P _ y)\mathrm dx\mathrm dy=\iint \limits _ D\left|\begin{matrix}\partial/\partial x&\partial/\partial y\\ P&Q\end{matrix}\right|\mathrm dx\mathrm dy\tag{11.4}$$

曲面积分¶

第一型曲面积分¶

第一型曲面积分，也不考虑曲面的“方向”问题。曲面面积元 $\mathrm dS$ 需要经过适当的转换变为平面面积元 $\mathrm d\sigma$，从而转化为二重积分。如果曲面是 $z=z(x,y)$ 的一部分，那么 $$\iint\limits _ Sf\mathrm dS=\iint\limits _ Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z _ x^2+z _ y^2}\mathrm dx\mathrm dy\tag{11.5}$$

第一型曲面积分的直接计算方法，相对来说，没有第一型曲线积分的方法那么丰富；但是也未必总是转换到面积微元 $\mathrm d\sigma=\mathrm dx\mathrm dy$ 上。

第二型曲面积分¶

第二型曲面积分也有着很多表示形式，如 $$\iint\limits _ S\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol S=\iint\limits _ S\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\mathrm dS=\iint\limits _ SP\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy\tag{11.6}$$

其矢量函数 $\boldsymbol F=\lbrace P,Q,R\rbrace$，$\boldsymbol n$ 是曲面 $S$ 的单位法矢量。

分辨第一型与第二型曲面积分

首先，在积分号下面有一个 $S$ 代表积分曲面的的是曲面积分；否则积分号下面表示积分平面（一般用不等式或者符号 $D$），是二重积分。在曲面积分中，一般给出 $\mathrm dS$ 的是第一型，给出 $\mathrm dx\mathrm dy,\mathrm dy\mathrm dz,\mathrm dz\mathrm dx$ 的组合的是第二型。

直接求取第二型曲面积分，一般使用分散投影法或统一投影法。统一投影法的原理是： $$\iint\limits _ SP\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy=\iint\limits _ S[-Pz _ x(x,y)-Qz _ y(x,y)+R]\mathrm dx\mathrm dy\tag{11.7}$$

从式 $(11.6)$ 中看出，如果你能直接得到 $\boldsymbol n$ 的表达式，那么就可以转换为第一型曲面积分计算。有些时候其他方法也能解决，不必费尽心思求 $\boldsymbol n$ 的表达式；也有些时候这种方式可以简化计算量。

Gause 公式与 Stokes 公式¶

在引入这两个公式之前，首先约定了一些记号。式 $(11.8)(11.9)$ 分别定义矢量函数 $\boldsymbol F=\lbrace P,Q,R\rbrace$ 的散度与旋度。 $$\operatorname{div}\boldsymbol F=P _ x+Q _ y+R _ z\tag{11.8}$$ $$\operatorname{\bold{rot}}\boldsymbol F=\lbrace R _ y-Q _ z,P _ z-R _ x,Q _ x-P _ y\rbrace\tag{11.9}$$

然而旋度的计算式太难记了。引入 Hamilton 算子 $\nabla=\left\lbrace\cfrac{\partial}{\partial x},\cfrac{\partial}{\partial y},\cfrac{\partial}{\partial z}\right\rbrace$ 后，可以简化为 $\operatorname{div}\boldsymbol F=\nabla\cdot\boldsymbol F$ 以及 $\operatorname{\bold{rot}}\boldsymbol F=\nabla\times\boldsymbol F$。同时梯度可以写成数乘向量 $\operatorname{\bold{grad}}u=\nabla u$。

也不能简单地将 $\nabla$ 看作一个矢量，把 $u$ 看作一个数量；$\nabla$ 矢量在运算中不仅具有一般性，还具有特殊性(1)。散度、旋度和梯度之间具有一些二级结论公式(2)。

特殊性可以从以下的 Leibniz 规则中看出：$$\nabla(uv)=v\nabla u+u\nabla v$$ $$\nabla\cdot(u\boldsymbol F)=\nabla u\cdot\boldsymbol F+u\nabla\cdot\boldsymbol F$$ $$\nabla\times(u\boldsymbol F)=\nabla u\times\boldsymbol F+u\nabla\times\boldsymbol F$$ $$\nabla\cdot(\boldsymbol F\times\boldsymbol G)=(\nabla\times\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol G-\boldsymbol F\cdot(\nabla\times\boldsymbol G)$$

下面两个结论能够按照定义证明出来，但是可能不太好记忆： $$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol F)=\operatorname{div}\operatorname{\bold{rot}}\boldsymbol F=0$$ $$\nabla\times\nabla u=\operatorname{\bold{rot}}\operatorname{\bold{grad}}u=0$$ 下面这个计算结果也记为 $\Delta u$，其中 $\Delta$ 是 Laplace 算子：$$\nabla\cdot\nabla u=\nabla^2u=u _ {xx}+u _ {yy} + u _ {zz}$$

Gause 公式¶

Gause 公式将空间中的闭曲面的第二型曲面积分与曲面所包围的空间区域的三重积分联系起来。这和 Green 公式类似，Green 公式将平面中的闭曲线的第二型曲线积分与曲线所包围的平面区域的二重积分联系起来。
Gause 公式的形式为 $$\oiint\limits _ SP\mathrm dy\mathrm dz+Q\mathrm dz\mathrm dx+R\mathrm dx\mathrm dy=\iiint\limits _ V(P _ x+Q _ y+R _ z)\mathrm dv\tag{11.10}$$ 或者写作 $$\oiint\limits _ S(\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n)\mathrm dS=\iiint\limits _ V(\nabla\cdot\boldsymbol F)\mathrm dv\tag{11.11}$$

Gause 公式的使用也要求 $P,Q,R$ 在 $V$（包含边界）上有连续的一阶偏导数，因此如果 $V$ 内存在一阶偏导数的不连续点，仿照 Green 公式一样挖去这个点的一个邻域。

Stokes 公式¶

设分片光滑的定向曲面 $S$ 以分段光滑的有向闭曲线 $L$ 为边界，$L$ 与 $S$ 的定向一致(1)；函数 $P,Q,R$ 在 $S$（包括边界）上有连续的一阶偏导数，$\boldsymbol F=\lbrace P,Q,R\rbrace$，则

若一人立于 $S$ 的指定一侧沿 $L$ 行进时，$S$ 的指定一侧总是在左侧，则说 $L$ 与 $S$ 的定向一致。

$$\oint _ L \boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r=\iint\limits _ S(\nabla\times\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n\mathrm dS\tag{11.12}$$

在实际计算中，一般采用 $$\oint _ LP\mathrm dx+Q\mathrm dy+R\mathrm dz=\iint\limits _ S\left|\begin{matrix}\mathrm dy\mathrm dz&\mathrm dz\mathrm dx&\mathrm dx\mathrm dy\\\cfrac{\partial}{\partial x}&\cfrac{\partial}{\partial y}&\cfrac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{matrix}\right|\tag{11.13}$$

从而转换为第二型曲面积分计算。