12 无穷级数

本节含有课本未出现的拓展内容：

• Cauchy 收敛准则
• A-D 判别法

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数项级数

  级数的收敛判别法没有普遍的通式。对于特殊的数项级数，系统性地总结一下数项级数的判别法。

正项级数收敛判别法

  对于正项级数 $\sum a _ n$ 而言，判别法大致分为三类：

• 与已知敛散性的级数 $\sum b _ n$ 比较
  • 一般形式的比较判别法。若从某项起有 $a _ n\leq b _ n$，则当 $\sum b _ n$ 收敛时 $\sum a _ n$ 收敛。

    很多情况下，这个 $\sum b _ n$ 具有简单的形式，比如 $p-$级数。

  • 极限形式的比较判别法。若 $b _ n\neq 0$，$\lim\limits _ {n\to\infty}a _ n/b _ n=l$，则当 $0< l< +\infty$ 时 $\sum a _ n$ 与 $\sum b _ n$ 敛散性相同。
• $a _ n$ 自身性质挖掘
  • 比值法：若 $\lim\limits _ {n\to\infty}a _ {n+1}/a _ n=l$，则级数 $\sum a _ n$ 当 $l<1$ 时收敛，当 $l > 1$ 时发散。
  • 根值法：若 $\lim\limits _ {n\to\infty}\sqrt[n]{a _ n}=l$，则级数 $\sum a _ n$ 当 $l<1$ 时收敛，当 $l > 1$ 时发散。
• 数列 $\lbrace a _ n\rbrace$ 拓展为函数 $f(x)$：设 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上非负且单调递减，$a _ n=f(n)(n=1,2,\cdots)$，则级数 $\sum a _ n$ 收敛当且仅当反常积分 $\displaystyle\int _ 1 ^ {+\infty}f(x)\mathrm dx$ 收敛。

变号级数收敛判别法

  一般而言都是使用 Leibniz 判别法：若 $\lbrace a _ n\rbrace$ 单调递减且收敛于零，则级数 $\sum(-1)^{n-1}a _ n$ 收敛。

Cauchy 收敛准则

  Cauchy 收敛准则，本身是对于数列收敛的一个描述，即数列 $\lbrace a _ n\rbrace$ 收敛的充要条件是： $$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb N^+,\forall m,n>N:|a _ m-a _ n|<\varepsilon$$

  而级数 $\sum x _ n$ 收敛的充要条件又是部分和 $a _ n=\sum _ {k=1}^n x _ k$ 收敛，据此，可以得到级数 $\sum x _ n$ 收敛的充要条件：

$$\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb N^+,\forall m,n>N:\left|\sum _ {k=m}^n x _ k\right|<\varepsilon$$

因此，如果对于任意的 $m$，都存在 $n>m$ 使得 $\left|\sum _ {k=m}^n x _ k\right|>c$（$c$ 为一个正常数），就可以判断级数发散了。

A-D 判别法

  A 指的是 Abel 判别法，D 指的是 Dirichlet 判别法。

Abel 判别法

如果数列 $\lbrace a _ n\rbrace$ 单调有界，$\sum _ {n=1}^\infty b _ n$ 收敛，则级数 $\sum _ {n=1}^\infty a _ nb _ n$ 收敛。

Dirichlet 判别法

设数列 $\lbrace a _ n\rbrace$ 单调趋于 $0$，级数 $\sum _ {n=1}^\infty b _ n$ 的部分和有界，则级数 $\sum _ {n=1}^\infty a _ nb _ n$ 收敛。

  这两个定理的证明比较复杂，详情可以参见这篇文章。

函数项级数

一致收敛性

  有限个连续函数之和仍然是连续函数，无限个就未必了。一致收敛性是指在收敛域 $B$ 上的每个点，这些函数值之和收敛到和函数的速度的一致性。一旦收敛速度不一致，即非一致收敛，和函数就会产生间断。

一致收敛性的定义

  设级数 $\displaystyle\sum _ {n=1}^{\infty}u _ n(x)=u _ 1(x)+u _ 2(x)+\cdots+u _ n(x)+\cdots$ 在点集 $A$ 上收敛， 若 $$\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\forall n\geq N,\forall x\in A:|R _ n(x)|<\varepsilon$$

则说级数在 $A$ 上一致收敛。其中 $R _ n(x)=\displaystyle\sum _ {k=n+1}^\infty u _ k(x)$。

  使用定义证明一致收敛性往往十分困难，所以产生了一个 Weierstrass 判别法，提供一致收敛的充分条件：

Weierstrass 判别法

  若存在一个收敛的正项级数 $\sum b _ n$ 使得 $|u _ n(x)|\leq b _ n(x\in A,n=1,2,\cdots)$，则级数 $\sum u _ n(x)$ 在 $A$ 上绝对收敛且一致收敛。

  教材上对于这个 $b _ n$ 的阐述非常好。Weierstrass 判别法的关键是将 $|u _ n(x)|$ 适度放大为 $b _ n$，使得 $b _ n$ 不再含 $x$。

幂级数

  幂级数是特殊的函数项级数，从 Abel 定理(1)中可以导出收敛半径 $R$ 的概念，即幂级数的收敛域 $B$ 为一个连续且关于原点对称的区间（忽略端点）。而对于幂级数 $\displaystyle\sum _ {n=0}^\infty a _ nx ^n$ 来说，收敛半径的确认依式 $(12.1)$。

1. 如果级数 $\displaystyle\sum _ {n=0}^\infty a _ nx ^n$ 当 $x=x _ 0(x _ 0\neq 0)$ 时收敛，则该级数在区间 $(-|x _ 0|,|x _ 0|)$ 上绝对收敛。如果级数 $\displaystyle\sum _ {n=0}^\infty a _ nx ^n$ 当 $x=x _ 0$ 时发散，则对 $|x|>|x _ 0|$ 的 $x$ 级数发散。

$$R=\lim _ {n\to\infty}\left|\cfrac{a _ n}{a _ {n+1}}\right|\tag{12.1}$$

关于幂级数是否在 $x=\pm R$ 处收敛，需要单独拿出来讨论。