2 极限与连续性
本节含有课本未出现的拓展内容：
数列极限和函数极限，都有一些很难的计算题，插个眼：习题集锦。
数列极限¶
数列极限的定义与证明¶
这里引入了极限的定义：
数列极限的定义
给定数列 $\lbrace x _ n\rbrace$，若 $\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\forall n>N:|x _ n - a|<\varepsilon$ 成立，那么 $\lim\limits _ {n\to\infty}x _ n=a$。
在数列极限证明问题中，如果要证明 $\lim\limits _ {n\to\infty}x _ n=a$，那么统统是由 $|x _ n -a|<\varepsilon$ 得到 $n>f(\varepsilon)$，从而取 $N=\lfloor f(\varepsilon)\rfloor$。
极限的保号性¶
极限的保号性也是一个相当重要的结论。
极限的保号性
设 $\lim\limits _ {n\to\infty}x _ n=a$。
- 若 $a\neq 0$，则当 $n$ 充分大时，$x _ n$ 与 $a$ 同号。
- 若当 $n$ 充分大时 $x _ n\geq 0$（或 $x _ n\leq 0$），则 $a\geq 0$（或 $a\leq 0$）。
数列极限巧求法——stolz 定理¶
当数列极限不是很好求的时候，可以利用下面的公式进行转换。将差分看成是微分，你会发现 Stolz 定理可以看作是数列形式的 L’hospital 法则。
Stolz（斯托尔茨）定理
若数列 $\lbrace x _ n\rbrace$ 为严格递增数列，$\lim\limits _ {n\to\infty}x _ n=+\infty$，且 $\displaystyle\lim _ {n\to\infty}\cfrac{y _ {n+1} - y _ n}{x _ {n+1} - x _ n}$ 存在或发散于 $+\infty,-\infty$，则$$\lim _ {n\to\infty}\cfrac{y _ n}{x _ n}=\lim _ {n\to\infty}\cfrac{y _ n-y _ {n-1}}{x _ n-x _ {n-1}}\tag{2.1}$$
函数极限¶
类似数列极限的 $\varepsilon-N$ 语言，函数极限也有自己的定义方式，具体形式因极限类型而异。
说明函数极限不存在的两种方式
从数列极限的角度，说明 $\lim\limits _ {x\to a}f(x)$ 不存在有两种常见的方式：
- 数列 $\lbrace x _ n\rbrace$ 有 $\lim\limits _ {n\to\infty}x _ n =a$ 但是 $\lbrace f(x _ n)\rbrace$ 发散。
- 数列 $\lbrace x _ n\rbrace,\lbrace x _ n\rbrace$ 有 $\lim\limits _ {n\to\infty}x _ n =\lim\limits _ {n\to\infty}y _ n=a$，但是 $\lbrace f(x _ n)\rbrace$ 和 $\lbrace f(y _ n)\rbrace$ 的极限不同。
闭区间上连续函数的重要性质
最值定理：闭区间上的连续函数必有最大值与最小值，从而是有界函数。
介值定理：若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则对介于但不等于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任一实数 $C$，必存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=C$。
零点存在性定理是介值定理在 $C=0$ 时的特例。