3 导数与微分
导数¶
| 原函数 $f(x)$ | 导函数 $f^\prime(x)$ | 原函数 $f(x)$ | 导函数 $f^\prime(x)$ |
|---|---|---|---|
| $C$，$C$ 是常数 | $0$ | $x^\alpha(x>0)$，$\alpha$ 是实常数 | $\alpha x^{\alpha-1}$ |
| $a^x(a>0\text{ 且 }a\neq1)$ | $a^x\ln a$ | $\log _ ax(a>0\text{ 且 }a\neq1)$ | $\cfrac{1}{x\ln a}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\cfrac{1}{\cos^2x}$ | $\cot x$ | $-\cfrac{1}{\sin^2x}$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ | $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |
| $\arcsin x$ | $\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x$ | $-\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\cfrac{1}{1+x^2}$ | $\operatorname{arccot} x$ | $-\cfrac{1}{1+x^2}$ |
关于导数，有一个值得注意的点。$f(x)$ 的导数存在，不能说明 $f^\prime(x)$ 连续。就比如下面这个函数： $$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\cfrac{1}{x}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}\tag{3.1}$$
$f^\prime(x)$ 在 $x=0$ 处不连续的原因是 $\lim\limits _ {x\to 0}f^\prime(x)$ 不存在。
最初我认为，$f^\prime(x)$ 如果不连续，那么必能找到一个 $x _ 0$ 使得 $f^\prime(x _ 0^-)\neq f^\prime(x _ 0^+)$，左右导数不相等则 $f(x)$ 的导数不存在。实际上我只考虑了导数为有限值或者无穷的情况，而忽略了那种极限值不存在的情况。
导数可能存在震荡间断点，但是不存在第一类间断点或者无穷间断点。这是导数的重要特性。
微分¶
微分首先有个重要性质。
一阶微分形式不变性
设 $y=f(u)$ 是可微函数，则无论 $u$ 是自变量或者是中间变量，都有 $\mathrm dy=f^\prime(u)\mathrm du$。
| 原函数 $f(x)$ | $n$ 阶导函数 $f^{(n)}(x)$ |
|---|---|
| $x^m$ | $\begin{cases}m!x^{m-n}/(m-n)!,&n < m\\m!,&n=m\\0,&n>m\end{cases}$ |
| $\cfrac{1}{x}(x\neq0)$ | $\cfrac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}$ |
| $a^x(a>0\text{ 且 }a\neq 1)$ | $a^x\ln^na$ |
| $\sin x$ | $\sin\left(x+\cfrac{n\pi}{2}\right)$ |
| $\cos x$ | $\cos\left(x+\cfrac{n\pi}{2}\right)$ |