4 微分中值定理与应用
这一章介绍了很多重要的东西，包括三大微分中值定理，L’Hospital 法则以及 Taylor 公式等。考试中一些证明题的考点也主要集中在这一章。
微分中值定理¶
Rolle 定理¶
首先引入了业余数学家 Fermat 提出的定理，即 $f(x)$ 在可导极值点的导数为 $0$。
Fermat（费马）定理
若 $f(x)$ 在极值点 $x _ 0\in(a,b)$ 可导，则 $f^\prime(x _ 0)=0$。
基于 Fermat 定理可以得出 Rolle 定理。函数 $f(x)$ 要么是常数函数，要么在 $(a,b)$ 内存在一个最值兼极值点，这便是 Rolle 定理的证明思路。
Rolle（罗尔）定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $f^\prime(\xi)=0$。
根据 Rolle 定理的中值特性，任何类似“存在 $\xi\in(a,b)$ 使得关于 $\xi$ 的某个等式成立”的命题都可以尝试用 Rolle 定理证明。所以 Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理都可以由它证明。
Lagrange 中值定理¶
Lagrange 中值定理可以通过证明 Rolle 定理的图形旋转得到，在代数上也可以通过 Rolle 定理获得严谨的证明。
Lagrange 中值定理
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可微，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得：$$f^\prime(\xi)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\tag{4.1}$$
Cauchy 中值定理¶
Cauchy 中值定理可以由 Rolle 定理通过严谨的数学证明得到。
Cauchy 中值定理
设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导且 $g^\prime(x)\neq 0$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使得：$$\cfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\cfrac{f^\prime(\xi)}{g^\prime(\xi)}\tag{4.2}$$
L’Hospital 法则¶
洛必达法则也是求数列极限的一个利器，但是 L’Hospital 法则的适用前提却常常被忽视，所以很容易被误用。
最容易被忽视的是下面第 $3$ 点，即洛之后的极限要么存在，要么为无穷，否则不能洛。因此，例如 $\lim\limits _ {x\to\infty}\cfrac{x+\sin x}{x}$ 就不能洛。
L’Hospital 法则
若函数 $f(x),g(x)$ 满足下列条件：
- $\lim\limits _ {x\to a}f(x)=\lim\limits _ {x\to a}g(x)=0$
- 在点 $a$ 的某去心邻域内两者都可导，且 $g^\prime(x)\neq 0$
- $\lim\limits _ {x\to a}\cfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A$（$A$ 可为实数，也可为 $\pm\infty$）
则 $\lim\limits _ {x\to a}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits _ {x\to a}\cfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A$
若函数 $f(x),g(x)$ 满足下列条件：
- $\lim\limits _ {x\to a}f(x)=\lim\limits _ {x\to a}g(x)=\infty$
- 在点 $a$ 的某去心邻域内两者都可导，且 $g^\prime(x)\neq 0$
- $\lim\limits _ {x\to a}\cfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A$（$A$ 可为实数，也可为 $\pm\infty$）
则 $\lim\limits _ {x\to a}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits _ {x\to a}\cfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=A$
Taylor 公式¶
Taylor 公式更是这一章的重中之重，我已收集一些考题于习题集锦中。这些习题对于拓展思维会有一些帮助。
曲率¶
课本上对于曲率给出了一个比较直观的定义。曲线 $y=f(x)$ 上某点 $M(x,f(x))$ 沿着弧线移动 $\mathrm ds$ 弧长时，切线的倾角也发生了变化 $\mathrm d\alpha$，从而定义 $M$ 处的曲率为： $$K=\lim\limits _{\Delta s\to 0}\left|\cfrac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=\cfrac{\mathrm d\alpha}{\mathrm ds}=\cfrac{|y^{\prime\prime}|}{(1+y^{\prime 2})^{3/2}}\tag{4.3}$$
最后一个等号显然需要 $y=f(x)$ 二阶可导。你想想圆半径的一种定义方式是 $R=\cfrac{\mathrm ds}{\mathrm d\alpha}$，就知道曲率定义的合理性了，同时还能知道曲率的倒数叫做曲率半径。