5 不定积分
特殊函数积分表¶
很多常见函数的原函数可以通过查第三章中基本初等函数导数表得到。有一些查不到，附在下表中，但是切勿死记，因为都是很容易推导的。
| 函数 $f(x)$ | 原函数 $F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm dx$ | 函数 $f(x)$ | 原函数 $F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm dx$ |
|---|---|---|---|
| $\tan x$ | $-\ln|\cos x|+C$ | $\cot x$ | $\ln|\sin x|+C$ |
| $\sec x=\cfrac{1}{\cos x}$ | $\ln|\sec x+\tan x|+C$ | $\csc x=\cfrac{1}{\sin x}$ | $\ln|\csc x-\cot x|+C$ |
| $\cfrac{1}{a^2+x^2}$ | $\cfrac{1}{a}\arctan\cfrac{x}{a}+C$ | $\cfrac{1}{a^2-x^2}$ | $\cfrac{1}{2a}\ln\left|\cfrac{a+x}{a-x}\right|+C$ |
| $\sqrt{a^2-x^2}$ | $\cfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\cfrac{a^2}{2}\arcsin\cfrac{x}{a}+C$ | $\sqrt{x^2\pm a^2}$ | $\cfrac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\cfrac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$ |
| $\cfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ | $\arcsin\cfrac{x}{a}+C$ | $\cfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}$ | $\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$ |
有趣的是，关于 $f(x)=x^{-1}$ 的原函数，一直有人说教材中表示得不对，应该是 $F(x)=\begin{cases}\ln(-x)+C _ 1,&x<0\\\ln x+C _ 2,&x>0\end{cases}$ 才对，这是有道理的。不过实际上不定积分都是为定积分服务，$x^{-1}$ 的积分上下限若跨越 $0$ 则不收敛，从而两种原函数也都无所谓了。
不定积分计算¶
凑微分、分部积分、换元法是计算不定积分的三大法宝。然而即便知道有这些方法，实战中想要灵活应用也没那么容易。收录了一些题目到习题集锦中以拓展思维。
分部积分凑法¶
对于诸如 $\displaystyle\int x^nf(x)\mathrm dx$ 的积分，要想采用分部积分的话，到底将 $x^n$ 还是 $f(x)$ 放到 $\mathrm d$ 后面去，以下是经验之谈：
- 若 $f(x)$ 是诸如 $\sin x,\cos 2x$ 这类三角函数，往往将 $f(x)$ 放在后面进行分部积分。即会变成 $\displaystyle\int x^n\mathrm dF(x)$ 的形式。如果 $f(x)$ 是三角函数的高次项，需要先降次，然后进行同等操作。
- 若 $f(x)$ 是的导函数只含幂函数，诸如 $\arcsin x,\ln(1+x)$ 这类函数，往往把 $x^n$ 放在后面进行分部积分。即会变成 $\cfrac{1}{n+1}\displaystyle\int f(x)\mathrm d(x^{n+1})$ 的形式。
值得留意的函数¶
有些时候我们已经凑出 $\displaystyle\int f(x)\mathrm dg(x)$ 的形式了，接下来应该要进行分部积分，而 $f^\prime(x)$ 的复杂程度决定了我们尝试的意愿。有一些函数本身看起来比较复杂，我们自然而然地觉得它的导函数也很复杂，但是实际不然。所以这里总结一些导函数比原函数形式更简单的函数。 $$\left(\cfrac{\sin x}{1+\cos x}\right)^\prime=\cfrac{1}{1+\cos x}$$
与之类似的有那么几个函数，大题都是分子分母包含正弦余弦，常数是 $1$ 的分式。大胆开导吧！