6 定积分

本节含有课本未出现的拓展内容：

定积分沿用了不定积分的很多性质，例如分部积分、换元法等，同时它还具备一些自己的新性质，计算技巧也更丰富。

Hölder（赫尔德）不等式

定积分的性质¶

定积分具有很多性质，下面列举三条比较重要的性质，它们都可以用于不等式的证明。定积分证明题也是常见的考点，收录了一些定积分证明题到习题集锦中。

积分中值定理

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 连续， $g(x)$ 不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得： $\int _ a ^ bf(x)g(x)\mathrm dx=f(\xi)\int _ a^bg(x)\mathrm dx\tag{6.1}$

若 $g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上连续，则 $\xi$ 可以在开区间 $(a,b)$ 中取到。

定积分绝对值不等式

若 $a\leq b$ ，则 $\displaystyle\left|\int _ a^bf(x)\mathrm dx\right|\leq\int _ a^b|f(x)|\mathrm dx$ 。

定积分 Cauchy-Schwartz（柯西-施瓦茨不等式）

设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则： $\left(\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right)^2\leq \left(\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx\right)\left(\int _ a^bg^2(x)\mathrm dx\right)\tag{6.2}$

Cauchy-Schwartz 不等式在定积分中的变体，其证明非常巧妙
首先，显然对于任意 $\lambda\in\mathbb R$ ，下式恒成立： $[\lambda f(x)+g(x)]^2\geq 0$ 对上式积分，可得 $\lambda^2\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx+2\lambda\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx+\int _ a^bg^2(x)\mathrm dx\geq 0$
若 $\displaystyle\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx=0$ ，根据 $f(x)$ 的连续性得 $f(x)=0(x\in[a,b])$ ，待证不等式显然成立。

若 $\displaystyle\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx>0$ ，式左侧可看作 $\lambda$ 的二次函数，其值恒为非负值，从而 $\Delta = \left(2\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right)^2-4\left(\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx\right)\left(\int _ a^bg^2(x)\mathrm dx\right)\leq 0$ 从而待证不等式得证。
。注意多重积分也有类似的不等式成立。

特别地，式 $(6.2)$ 等号成立的条件是 $f(x),g(x)$ 线性相关。在 $g(x)\neq 0$ 的情况下，也可写作 $\exists c\in\mathbb R:f(x)=cg(x)$ 。

同时，对于特殊上下限的定积分，也有公式用于简化计算或者证明： $\int _ 0^af(x)\mathrm dx=\int _ 0^af(a-x)\mathrm dx\tag{6.3}$ $\int _ 0^af(x)\mathrm dx=\cfrac{1}{2}\int _ 0^a[f(x)+f(a-x)]\mathrm dx\tag{6.4}$ $\int _ {-a} ^ af(x)\mathrm dx=\int _ 0^a[f(x)+f(-x)]\mathrm dx\tag{6.5}$

式 $(6.3)-(6.5)$ 与换元法、分部积分法综合运用，可以解决很多定积分计算问题。收录了一些定积分计算题到习题集锦中。

Euler 积分¶

Euler 积分是一个大杀器，很多看似棘手的定积分都可以用它来解决。Euler 积分指的是下面两个反常积分： $\Gamma(\alpha)=\int _ 0^{+\infty}x^{\alpha-1}\mathrm e^{-x}\mathrm dx(\alpha>0)\tag{6.6}$ $\Beta(\alpha,\beta)=\int _ 0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx(\alpha,\beta>0)\tag{6.7}$

式 $(6.6)(6.7)$ 分别被称作伽玛函数和贝塔函数。它们具有如下性质：

递推公式： $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$ ，从而对于 $n\in\mathbb N$ 有 $\Gamma(n+1)=n!$ 。
转换公式：贝塔函数可以用伽马函数表示，从而进一步计算， $\Beta(\alpha,\beta)=\cfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ 。
余元公式： $\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\cfrac{\pi}{\sin \alpha\pi}(0<\alpha<1)$ ，取 $\alpha=1/2$ 可得 $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ 。

定积分的应用¶

定积分可以用来求一些长度、面积、体积等。求曲线弧长时，曲线若是以参数方程 $\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t),\end{cases}(\alpha\leq t\leq\beta)$ 或极坐标 $r=r(\theta)(\alpha\leq\theta\leq\beta)$ 的形式给出，弧长应该分别按照下两式计算： $s=\int _ \alpha^\beta\sqrt{x^\prime(t)^2+y^\prime(t)^2}\mathrm dt\tag{6.8}$ $s=\int _ \alpha^\beta\sqrt{r^\prime(\theta)^2+r(\theta)^2}\mathrm d\theta\tag{6.9}$

Hölder 不等式¶

Hölder 不等式是 Cauchy-Schwartz 不等式的强化版本，对比式 $(6.2)$

，Hölder 不等式在定积分中的形式为

$\left|\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right|\leq \left(\int _ a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right)^\frac{1}{p}\left(\int _ a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right)^\frac{1}{q}\tag{6.10}$

其中 $\cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{q}=1$ 。