6 定积分
本节含有课本未出现的拓展内容：
定积分沿用了不定积分的很多性质，例如分部积分、换元法等，同时它还具备一些自己的新性质，计算技巧也更丰富。
定积分的性质¶
定积分具有很多性质，下面列举三条比较重要的性质，它们都可以用于不等式的证明。定积分证明题也是常见的考点，收录了一些定积分证明题到习题集锦中。
积分中值定理
若在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 连续，$g(x)$ 不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得：$$\int _ a ^ bf(x)g(x)\mathrm dx=f(\xi)\int _ a^bg(x)\mathrm dx\tag{6.1}$$
若 $g(x)$ 也在 $[a,b]$ 上连续，则 $\xi$ 可以在开区间 $(a,b)$ 中取到。
定积分绝对值不等式
若 $a\leq b$，则 $\displaystyle\left|\int _ a^bf(x)\mathrm dx\right|\leq\int _ a^b|f(x)|\mathrm dx$。
定积分 Cauchy-Schwartz（柯西-施瓦茨不等式）
设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则：$$\left(\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right)^2\leq \left(\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx\right)\left(\int _ a^bg^2(x)\mathrm dx\right)\tag{6.2}$$
Cauchy-Schwartz 不等式在定积分中的变体，其证明非常巧妙(1)。注意多重积分也有类似的不等式成立。
- 首先，显然对于任意 $\lambda\in\mathbb R$，下式恒成立：$$[\lambda f(x)+g(x)]^2\geq 0$$ 对上式积分，可得 $$\lambda^2\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx+2\lambda\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx+\int _ a^bg^2(x)\mathrm dx\geq 0$$
- 若 $\displaystyle\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx=0$，根据 $f(x)$ 的连续性得 $f(x)=0(x\in[a,b])$，待证不等式显然成立。
- 若 $\displaystyle\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx>0$，式左侧可看作 $\lambda$ 的二次函数，其值恒为非负值，从而 $$\Delta = \left(2\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right)^2-4\left(\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx\right)\left(\int _ a^bg^2(x)\mathrm dx\right)\leq 0$$ 从而待证不等式得证。
特别地，式 $(6.2)$ 等号成立的条件是 $f(x),g(x)$ 线性相关。在 $g(x)\neq 0$ 的情况下，也可写作 $\exists c\in\mathbb R:f(x)=cg(x)$。
同时，对于特殊上下限的定积分，也有公式用于简化计算或者证明： $$\int _ 0^af(x)\mathrm dx=\int _ 0^af(a-x)\mathrm dx\tag{6.3}$$ $$\int _ 0^af(x)\mathrm dx=\cfrac{1}{2}\int _ 0^a[f(x)+f(a-x)]\mathrm dx\tag{6.4}$$ $$\int _ {-a} ^ af(x)\mathrm dx=\int _ 0^a[f(x)+f(-x)]\mathrm dx\tag{6.5}$$
式 $(6.3)-(6.5)$ 与换元法、分部积分法综合运用，可以解决很多定积分计算问题。收录了一些定积分计算题到习题集锦中。
Euler 积分¶
Euler 积分是一个大杀器，很多看似棘手的定积分都可以用它来解决。Euler 积分指的是下面两个反常积分： $$\Gamma(\alpha)=\int _ 0^{+\infty}x^{\alpha-1}\mathrm e^{-x}\mathrm dx(\alpha>0)\tag{6.6}$$ $$\Beta(\alpha,\beta)=\int _ 0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm dx(\alpha,\beta>0)\tag{6.7}$$
式 $(6.6)(6.7)$ 分别被称作伽玛函数和贝塔函数。它们具有如下性质：
- 递推公式：$\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$，从而对于 $n\in\mathbb N$ 有 $\Gamma(n+1)=n!$。
- 转换公式：贝塔函数可以用伽马函数表示，从而进一步计算，$\Beta(\alpha,\beta)=\cfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$。
- 余元公式：$\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)=\cfrac{\pi}{\sin \alpha\pi}(0<\alpha<1)$，取 $\alpha=1/2$ 可得 $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$。
定积分的应用¶
定积分可以用来求一些长度、面积、体积等。求曲线弧长时，曲线若是以参数方程 $\begin{cases}x=x(t),\\ y=y(t),\end{cases}(\alpha\leq t\leq\beta)$ 或极坐标 $r=r(\theta)(\alpha\leq\theta\leq\beta)$ 的形式给出，弧长应该分别按照下两式计算： $$s=\int _ \alpha^\beta\sqrt{x^\prime(t)^2+y^\prime(t)^2}\mathrm dt\tag{6.8}$$ $$s=\int _ \alpha^\beta\sqrt{r^\prime(\theta)^2+r(\theta)^2}\mathrm d\theta\tag{6.9}$$
Hölder 不等式¶
Hölder 不等式是 Cauchy-Schwartz 不等式的强化版本，对比式 $(6.2)$(1)，Hölder 不等式在定积分中的形式为
- $$\left(\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right)^2\leq \left(\int _ a^bf^2(x)\mathrm dx\right)\left(\int _ a^bg^2(x)\mathrm dx\right)$$
$$\left|\int _ a^bf(x)g(x)\mathrm dx\right|\leq \left(\int _ a^b|f(x)|^p\mathrm dx\right)^\frac{1}{p}\left(\int _ a^b|g(x)|^q\mathrm dx\right)^\frac{1}{q}\tag{6.10}$$
其中 $\cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{q}=1$。