7 常微分方程
一阶线性微分方程¶
一元函数的微分方程称为常微分方程。下式是一阶线性方程的通式。 $$y^\prime+a(x)y=b(x)\tag{7.1}$$
对于式 $(7.1)$，课本上给出了通解为： $$y=\mathrm e^{-\int a(x)\mathrm dx}\left[C+\int b(x)\mathrm e^{\int a(x)\mathrm dx}\mathrm dx\right]\tag{7.2}$$
书上通过常数变易法得到这个解，感觉这个方法其实就是猜。
需要说明的是，式 $(7.2)$ 前后的 $\int a(x)$ 必须是一样的。换句话说就是，我不能前面的 $\int a(x)=A(x)+C _ 1$，后面的 $\int a(x)=A(x)+C _ 2$，而 $C _ 1\neq C _ 2$。
Bernoulli 方程¶
对于下面的微分方程，也称为 Bernoulli 方程，需要两边同时乘以 $y^{-n}$，变成关于 $y^{1-n}$ 的一阶线性微分方程，从而使用式 $(7.1)$ 进行求解。 $$y^\prime=a(x)y+b(x)y^n\quad(n\neq0,1)\tag{7.3}$$
Bernoulli 方程是一阶非线性微分方程。你也注意到了，含有常数项的方程不是 Bernoulli 方程，就没法用这种方式求解。
齐次方程¶
满足 $F(ax,ay)=0$ 的方程 $F(x,y)=0$ 是齐次方程。对于这类方程，尝试使用 $t =\cfrac{y}{x}$ 进行换元，得到 $t$ 关于 $x$ 的微分方程，可能会简化计算。
一类可以转化为齐次方程的微分方程
有一些微分方程，在去掉某一项后就是其次的微分方程。比如下面这个 $$(x^2+y^2+3)\cfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=2x(2y-\cfrac{x^2}{y})$$
要是没有这个 $3$ 就好了。这题我们在凑微分的时候，也容易发现凑出来的都是 $x,y$ 的偶数次项，很容易想到换元 $u=x^2,v=y^2$，从而有 $$\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm du}=\cfrac{2(2v-u)}{u+v+3}$$
依然，这个 $3$ 的存在很麻烦。考虑到 $\mathrm d(x+c)=\mathrm dx$，我们可以令 $U=u+a$，$V=v+b$，其中 $a,b$ 都是常数，希望能够将微分方程转换为如下所示的齐次方程便于后续解题 $$\cfrac{\mathrm dV}{\mathrm dU}=\cfrac{2(2V-U)}{U+V+3}$$
很容易能找到 $a=2,b=1$，接下来就可以使用齐次方程的方法了。
二阶微分方程的解法¶
特殊方程（缺元）的降阶法¶
对于一些高阶的微分方程，可以尝试降为一阶微分方程，从而应用式 $(7.1)$ 或者其他方式求解。两种典型的降阶方式：
- 对于 $y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)$ 这类微分方程（缺 $y$ 方程），可以使用 $p=y^\prime$，化为自变量为 $x$，因变量为 $p$ 的微分方程。
- 对于 $y^{\prime\prime}=f(y,y^\prime)$ 这类微分方程（缺 $x$ 方程），可以使用 $p=y^\prime$，化为自变量为 $y$，因变量为 $p$ 的微分方程。这个方法是比较巧妙的。
上述微分方程有着特殊性，缺 $y$ 或缺 $x$，对于 $F(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime})=0$ 这类方程则不适用。
这个方法没有要求是线性微分方程。
已知一个解的线性齐次方程¶
二阶线性微分方程若不含只含 $x$ 的多项式，则是齐次方程，形式如下： $$y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=0\tag{7.4}$$
这种方程如果已知一个解 $y _ 1(x)$，则可以求出另外一个线性无关的解。
具体做法是构造一个新解 $y _ 2(x)=vy _ 1(x)$，以 $y _ 2$ 代微分方程中的 $y$，然后令 $u=v^\prime$，即可得到 $u$ 关于 $x$ 的一阶微分方程。从中可以解出 $u$，进而得到 $y _ 2(x)$。
已知齐次方程通解的非齐次方程¶
二阶线性非齐次方程的形式如下： $$y^{\prime\prime}+a(x)y^\prime+b(x)y=f(x)\tag{7.5}$$
我们解 $(7.4)$ 的得到的通解应该是 $$y=C _ 1y _ 1(x)+C _ 2y _ 2(x)\tag{7.6}$$
将这个解的常数变成未知数，即常数变易法，从而猜测 $(7.5)$ 的通解具有如下形式： $$y=V _ 1(x)y _ 1(x)+V _ 2(x)y _ 2(x)\tag{7.7}$$
同时，加上下面的限定条件 $(7.8)$，使得 $V _ 1,V _ 2$ 能够被解出来，且方便求解。 $$V _ 1^\prime y _ 1+V _ 2^\prime y _ 2=0\tag{7.8}$$
Euler 方程¶
所谓 Euler 方程，是指形如下式的微分方程。 $$x^ny^{(n)}+a _ 1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a _ ny=f(x)\tag{7.9}$$
这类方程，只需要令 $x=\mathrm e^t$，根据式 $(7.10)$ 即可转换为 $y$ 关于 $t$ 的常系数微分方程。 $$x^ky^{(k)}=D(D-1)\cdots(D-k+1)y\quad(1\leq k\leq n)\tag{7.10}$$
式 $(7.10)$ 中算子 $D=\cfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}$，可以按照多项式乘法运算律进行计算。