8 矢量代数与空间解析几何

矢量及其线性运算

定比分点公式

  这是一个常用的公式。若 $A(x _ 1,y _ 1,z _ 1)$，$B(x _ 2,y _ 2,z _ 2)$，且 $AC/CB=\lambda(\lambda\neq-1)$，那么 $C$ 点的坐标为 $\left(\cfrac{x _ 1+\lambda x _ 2}{1+\lambda},\cfrac{y _ 1+\lambda y _ 2}{1+\lambda},\cfrac{z _ 1+\lambda z _ 2}{1+\lambda}\right)$。实际上就是 $A,B$ 坐标的一个加权平均。

方向角和方向余弦

  这是一对可能比较陌生的概念。任意矢量 $\boldsymbol a$ 与三坐标轴正向的夹角分别记为 $\alpha,\beta,\gamma$，那么：

• $\alpha,\beta,\gamma$ 称为矢量 $\boldsymbol a$ 的方向角。
• $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 为矢量 $\boldsymbol a$ 的方向余弦。
• 任意一组与 $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 成比例的数 $l,m,n$ 称为矢量 $\boldsymbol a$ 的方向数。

  实际上就有 $\boldsymbol a^0=\lbrace\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\rbrace$，也即有 $$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\tag{8.1}$$

矢量间的积

  在现有的数量积基础上，引入矢量积概念。若 $\boldsymbol a=\lbrace a _ x,a _ y,a _ z\rbrace$，$\boldsymbol b=\lbrace b _ x,b _ y,b _ z\rbrace$，则矢量积计算式为 $$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\left|\begin{matrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\ a _ x&a _ y&a _ z\\ b _ x&b _ y&b _ z\end{matrix}\right|\tag{8.2}$$

  矢量积的反交换律，可以从 $(8.2)$ 的行列式得证。
  混合积的表达式也很优美。$\boldsymbol c=\lbrace c _ x,c _ y,c _ z\rbrace$，有 $$[\boldsymbol{abc}]=\boldsymbol a\cdot(\boldsymbol b\times\boldsymbol c)=\left|\begin{matrix}a _ x&a _ y&a _ z\\ b _ x&b _ y&b _ z\\ c _ x&c _ y&c _ z\end{matrix}\right|\tag{8.3}$$

  混合积的轮换性、反对称性都能从中看出，其实就是行列式的互换性质。混合积还有很美妙的几何意义（平行六面体的体积）。