9 多元函数微分学
本节含有课本未出现的拓展内容：
多元函数¶
多元函数的极限和一元函数颇具类似之处。两个重要结论：
- 若 $f(P)\to l(P\to P _ 0)$，则当 $P$ 沿任一条曲线 $y=y(x)$ 趋于 $P _ 0$ 时，都有 $f(P)\to l$。
其逆否命题往往用于说明一个多元函数在某点的极限不存在——当 $P$ 沿不同曲线趋于 $P _ 0$ 时，极限不相等，或者有一个不存在，则多元函数在 $P _ 0$ 处的极限不存在。
- 若 $f(x,y)$ 在定义域 $D$ 的内点 $(x _ 0,y _ 0)$ 连续，则一元函数 $f(x,y _ 0)$ 与 $f(x _ 0,y)$ 分别在点 $x _ 0$ 与 $y _ 0$ 连续；反之未必。
偏导数与全微分¶
偏导数¶
关于偏导数有一个重要结论：当混合偏导数存在且连续时，它们与对各变元的求导顺序无关。特别地，对于二元函数，若 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上存在连续的偏导数 $f _ {xy}$ 与 $f _ {yx}$，则 $f _ {xy}=f _ {yx}$。
全微分¶
多元函数的全微分存在（可微）是一个很强的结论。由可微性可以得到多元函数连续，以及多元函数的偏导数存在。而为了得到可微性，一个充分条件是存在连续偏导数。
隐函数微分法¶
一般来说，$n$ 个线性无关的方程在特定条件下可以隐式地确定 $n$ 个函数（可以是一元或多元）。课本上给出了两个情形，其中一个是：
两个一元函数 $u(x),v(x)$ 的情形
设函数 $F(x,u,v)$ 与 $G(x,u,v)$ 在点 $P _ 0(x _ 0,u _ 0,v _ 0)$ 的某个领域内关于自变量的偏导数都连续，且有
- $F(x _ 0,u _ 0,v _0)=G(x _0,u _0,v _0)=0$
- $J=\left|\begin{matrix}F _ u&F _ v\\G _ u&G _ v\end{matrix}\right| _{P _0}\neq 0$
则存在 $P _ 0$ 的邻域 $N$ 与含 $x _ 0$ 的区间 $I$，使得在 $I$ 上有唯一的一组可谓函数 $u=u(x),v=v(x)(x\in I)$，满足 $u _0=u(x _0),v _0=v(x _0),(x,u(x),v(x))\in U$ 以及方程组 $$\begin{cases}F(x,u(x),v(x))=0,\\G(x,u(x),v(x))=0\end{cases}$$
并且有如下的导数计算公式 $$\cfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}=-\left|\begin{matrix}F _ x&F _ v\\G _ x& G _ v\end{matrix}\right|\big/J\quad\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm dx}=-\left|\begin{matrix}F _ u&F _ x\\G _ u& G _ x\end{matrix}\right|\big/J$$
行列式看起来很难记，其实就是对 $J$ 进行了一个变换。比如求 $u$ 对 $x$ 的导数，将 $J$ 中的 $u$ 换成 $x$ 就可以了。
方向导数与梯度¶
方向导数存在的一个充分条件是可微。设 $f(x,y,z)$ 在点 $P _ 0(x _ 0,y _ 0,z _ 0)$ 可微，$\boldsymbol n$ 是一方向余弦为 $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 的非零矢量，则方向导数存在： $$\cfrac{\partial f(P _ 0)}{\partial\boldsymbol n}=f _ x(P _ 0)\cos\alpha+f _ y(P _ 0)\cos\beta+f _ z(P _ 0)\cos\gamma\tag{9.1}$$
从 $(9.1)$ 的形式上看，$f$ 的方向导数是 $f$ 的各偏导数按照某个权重的“加权平均”。这些权重是该方向与坐标轴正方向的“接近程度”，用方向余弦刻画；权重的平方和为 $1$。
因为方向导数是多元函数在某个射线方向上的变化情况，所以它是一个很弱的结论，推不出偏导数存在，更推不出可微。当 $f$ 在 $P _ 0$ 不可微，或者可微性未知时，使用式 $(9.1)$ 可能会得到错误的结论。此时应该使用方向导数的定义式： $$\cfrac{\partial f(P _ 0)}{\partial\boldsymbol n}=\lim _ {\rho\to 0^+}\cfrac{f(x _ 0+\rho\cos\alpha,y _ 0+\rho\cos\beta,z _ 0+\rho\cos\gamma)-f(x _ 0,y _ 0,z _ 0)}{\rho}\tag{9.2}$$
梯度的定义是 $$\operatorname{\bold{grad}} f=\lbrace f _ x,f _ y,f _ z\rbrace\tag{9.3}$$
多元函数的极值¶
自由极值¶
类似于一元函数的极值，我们看二元函数的极值时，首先会看一阶偏导 $f _ x=f _ y=0$ 是否成立；若成立则往往会看二阶偏导 $f _ {xx}$ 和 $f _ {yy}$。但是仅有 $f _ {xx}(P _ 0) > 0$ 和 $f _ {yy}(P _ 0) > 0$ 并不足以说明 $P _ 0$ 是极小值点。类似地，仅有 $f _ {xx}(P _ 0) < 0$ 和 $f _ {yy}(P _ 0) < 0$ 并不足以说明 $P _ 0$ 是极大值点。
简单的来说，首先需要根据 $\Delta>0$ 来判断是极值点，$\Delta < 0$ 判断不是极值点，再根据二阶偏导的符号判断是何种极值点。其中
$$\Delta = f _ {xx}(P _ 0)f _ {yy}(P _ 0)-f _ {xy}^2(P _ 0)\tag{9.4}$$
条件极值¶
目标函数 $f(x _ 1,\cdots,x _ n)$，约束条件为 $g _ i(x _ 1,\cdots,x _ n)=0(i=1,2,\cdots,m)$。在 $f,g _ i(i=1,2,\cdots,m)$ 对 $x _ j(j=1,2,\cdots,n)$ 均存在一阶连续偏导数的情况下，可以使用 Lagrange 乘数法求解条件极值。
构造 Lagrange 函数
$$L=f+\sum _ {i=1}^m\lambda _ ig _ i\tag{9.5}$$
即可通过式 $(9.6)$ 求得 $f$ 的驻点。 $$\begin{cases}\cfrac{\partial L}{\partial x _ j}=0(j=1,2,\cdots,n),\\ g _ i=0(i=1,2,\cdots,m)\end{cases}\tag{9.6}$$
齐次函数的 Euler 定理¶
首先狭义地介绍一下什么是齐次函数。如果对于 $n$ 元函数 $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$，任意 $\alpha\in\mathbb R$ 和任意 $\boldsymbol x\in\mathbb R^n$，都有下式成立 $$f(\alpha\boldsymbol x)=\alpha^kf(\boldsymbol x)\tag{9.7}$$
那么说 $f$ 是 $k$ 次齐次函数。
齐次函数的欧拉定理
若 $k$ 次齐次函数 $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ 是可导的，那么 $$\boldsymbol x\cdot\nabla f(\boldsymbol x)=kf(\boldsymbol x)\tag{9.8}$$
这个定理的证明(1)比较显然，结论也可以用于一些不等式的证明或者曲面积分的化简。
- 记 $f(\boldsymbol x)=f(x _ 1,x _ 2,\cdots,x _ n)$，对式 $(9.7)$ 两边同时对 $\alpha$ 求导，根据复合函数可得 $$x _ 1f _ 1^\prime(\alpha\boldsymbol x)+\cdots+x _ nf _ n^\prime(\alpha\boldsymbol x)=k\alpha ^{k-1}f(\boldsymbol x)$$ 也即 $$\boldsymbol x\cdot\nabla f(\alpha\boldsymbol x)=k\alpha^{k-1}f(\boldsymbol x)$$ 令 $k=1$ 即可得证。