不定积分练习题
灵活运用，熟能生巧，复杂计算之后别忘了加上 $C$。
题 1 计算 $I=\displaystyle\int\cfrac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^6-x^3-1}}(x>0)$。
$\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自课本例 11）
答案 $-\cfrac{1}{3}\arcsin\left(\cfrac{x^3+2}{\sqrt 5x^3}\right)+C$
这道题使用凑微分法，考验极强的洞察力。$x>0$ 是我自己加上去的，否则下式第一步就是错的。
解$$\displaystyle\begin{aligned}I&=\int\cfrac{\mathrm dx}{x^4\sqrt{1-x^{-3}-x^{-6}}}=-\cfrac{1}{3}\int\cfrac{\mathrm d\left(x^{-3}+1/2\right)}{\sqrt{\cfrac{5}{4}-\left(x^{-3}+1/2\right)^2}}\\ &=-\cfrac{1}{3}\arcsin\left[\cfrac{2}{\sqrt 5}\left(x^{-3}+\cfrac{1}{2}\right)\right]+C\\ &=-\cfrac{1}{3}\arcsin\left(\cfrac{x^3+2}{\sqrt 5x^3}\right)+C\end{aligned}$$
题 2 求不定积分 $I=\displaystyle\int\cfrac{1+x}{x(1+x\mathrm e^x)}\mathrm dx$。
$\bigstar\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自《微积分学练习册》）
答案 $\ln\left|\cfrac{x\mathrm e^x}{1+x\mathrm e^x}\right|+C$
这道题需要分式上下同时乘一个因子 $\mathrm e^x$，然后即可凑微分。
解$$\displaystyle\begin{aligned}I&=\int\cfrac{\mathrm e^x(1+x)\mathrm dx}{x\mathrm e^x(1+x\mathrm e^x)}\\ &=\int\left(\cfrac{1}{x\mathrm e^x}-\cfrac{1}{1+x\mathrm e^x}\right)\mathrm d(x\mathrm e^x)\\ &=\ln\left|\cfrac{x\mathrm e^x}{1+x\mathrm e^x}\right|+C\end{aligned}$$
题 3 求不定积分 $I=\displaystyle\int\cfrac{\mathrm e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}\mathrm dx$。
$\bigstar\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自《微积分学练习册》）
答案 $\mathrm e^x\tan\cfrac{x}{2}+C$
这道题将分部积分法逆用，颇具启发性。同时启发我们对于 $1+\sin x$ 这类不齐次的三角式，往往需要降角升次。
解$$\displaystyle\begin{aligned}I&=\int\cfrac{\mathrm e^x(1+\sin x)}{2\cos^2(x/2)}\mathrm dx\\ &=\int\cfrac{\mathrm e^x}{2\cos^2(x/2)}\mathrm dx+\int\cfrac{\mathrm e^x\sin x}{2\cos^2(x/2)}\mathrm dx\\ &=\int\mathrm e^x\mathrm d\left(\tan\cfrac{x}{2}\right)+\int\tan\cfrac{x}{2}\mathrm d(\mathrm e^x)\\ &=\mathrm e^x\tan\cfrac{x}{2}+C\end{aligned}$$
题 4 求不定积分 $I=\displaystyle\int\cfrac{x^2+1}{x^4+1}\mathrm dx$。
$\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自《微积分学练习册》）
答案 $\cfrac{1}{\sqrt 2}\arctan\cfrac{x^2-1}{\sqrt 2x}+C$
这道题使用凑微分法，考验极强的洞察力。
解$$\displaystyle\begin{aligned}I&=\int\cfrac{x^{-2}+1}{x^2+x^{-2}}\mathrm dx\\ &=\int\cfrac{\mathrm d(x-x^{-1})}{(x-x^{-1})^2+2}\\ &=\cfrac{1}{\sqrt 2}\int\cfrac{\mathrm d(t/\sqrt 2)}{(t/\sqrt 2)^2+1}\quad(t = x-x^{-1})\\ &=\cfrac{1}{\sqrt 2}\arctan\cfrac{t}{\sqrt 2} +C\\ &=\cfrac{1}{\sqrt 2}\arctan\cfrac{x^2-1}{\sqrt 2x}+C\end{aligned}$$