定积分计算题

  积分上下限是定积分的灵魂。对于原函数很难找，或者原函数无法用初等函数表示的那类定积分，积分上下限显得尤为重要。

---

题 1 计算定积分 $I=\displaystyle\int _ 0 ^{+\infty}\cfrac{\ln x}{1+x^2}\mathrm dx$。

$\bigstar\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自《微积分学练习册》）

答案 $0$

这道题先进行换元，然后可用定积分的性质求解。

解$$\displaystyle\begin{aligned}I&=\int _ 0^{\pi/2}\ln\tan t\mathrm dt\quad(t=\arctan x)\\ &=\cfrac{1}{2}\int _ 0 ^{\pi/2}\left[\ln\tan t+\ln\tan\left(\cfrac{\pi}{2}-t\right)\right]\mathrm dt\\ &=\cfrac{1}{2}\int _ 0 ^{\pi/2}\ln 1\mathrm dt=0\end{aligned}$$

题 2 计算定积分 $I=\displaystyle\int _ 0 ^1\left(\left[\cfrac{2}{x}\right]-2\left[\cfrac{1}{x}\right]\right)\mathrm dx$。

$\bigstar\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自小红书）

答案 $2\ln2-1$

这道题考验对取整符号的灵活处理，设法将积分限约束在某个有限的区间内，这时取整符号即可解除。

解$$\displaystyle\begin{aligned}I&=\int _ 1^{+\infty}\cfrac{[2t]-2[t]}{t^2}\mathrm dt\quad\left(t=\cfrac{1}{x}\right)\\ &=\int _ 1^{+\infty}\cfrac{[2t]-2t}{t^2}\mathrm dt+\int _ 1^{+\infty}\cfrac{2t-2[t]}{t^2}\mathrm dt\quad(\text{两个反常积分均收敛，所以可拆})\\ &=2\int _ 2 ^{+\infty}\cfrac{[x]-x}{x^2}\mathrm dx-2\int _ 1^{+\infty}\cfrac{[x]-x}{x^2}\mathrm dx\quad(\text{前一个积分换元}\ x=2t)\\ &=2\int _ 1 ^2\cfrac{x-[x]}{x^2}\mathrm dx=2\int _ 1 ^2\cfrac{x-1}{x^2}\mathrm dx=2\ln 2-1\end{aligned}$$

题 3 计算定积分 $I=\displaystyle\int _ 0^{\pi/2}\cfrac{\sin(2023x)}{\sin x}\mathrm dx$。

$\bigstar\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自 2023 年全国大学生数学竞赛华中科技大学校选拔考试）

答案 $\cfrac{\pi}{2}$

和差化积的极致运用。这道题的关键在于将三角分式化成整式，从而利用三角函数的积分求解。

解 根据和差化积公式（直接展开也行），有 $$\sin[(2n+1)x]-\sin[(2n-1)x]=2\cos(2nx)\sin x$$

因此有 $$\begin{aligned}\sin(2023x)&=\sum _ {n=1}^{1011}\lbrace\sin[(2n+1)x]-\sin[(2n-1)x]\rbrace+\sin x\\&=2\sum _ {n=1}^{1011}\cos(2nx)\sin x+\sin x\end{aligned}$$

所以 $$\begin{aligned}\int _ 0^{\pi/2}\cfrac{\sin(2023x)}{\sin x}\mathrm dx&=\int _ 0^{\pi/2}\left[2\sum _ {n=1}^{1011}\cos(2nx)+1\right]\mathrm dx\\ &=\cfrac{\pi}{2}+2\sum _ {n=1}^{1011}\int _ 0^{\pi/2}\cos(2nx)=\cfrac{\pi}{2}\end{aligned}$$

题 4 计算定积分 $I=\displaystyle\int _ 0^\pi\ln\sin x\mathrm dx$。

$\bigstar\bigstar\bigstar$ 解题思路（来自 2023 年全国大学生数学竞赛华中科技大学模拟试卷（二））

答案 $-\pi\ln 2$

在使用各种手段计算 $I$ 时，如果兜兜转转回到 $I$，得到 $I=a+bI$ 这样的式子，就可以从中解出 $I$。

解 $$\begin{aligned}I&=2\int _ 0^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin x\mathrm dx=2\int _ 0^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos x\mathrm dx\\ &=\int _ 0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x\cos x)\mathrm dx\\ &=\int _ 0^{\frac{\pi}{2}}\ln\sin(2x)\mathrm dx-\cfrac{\pi\ln 2}{2}\\ &=\cfrac{1}{2}2\int _ 0^{\pi}\ln\sin t\mathrm dt-\cfrac{\pi\ln 2}{2}=\cfrac{1}{2}I-\cfrac{\pi\ln 2}{2}\end{aligned}$$

因此，$I=-\pi\ln 2$。

所计算的积分也称为欧拉积分。