1 数字电路与逻辑设计基础
这是《计算机组成原理》的一门先导课程。组成原理中大量内容涉及到了数字电路的知识，这下不得不好好学（复习）了。
带符号二进制加减法¶
正数的三个机器码（原码、反码、补码）是一样的，只有负数才需要变换。不过，一个正数与一个负数的原码貌似是
关于反码、补码加减运算原理的思考
反码、补码加减为什么可以这样运算？这里对其正确性提供一些想法。
注：《计算机组成原理》有非常详尽的证明，当时写出这些想法的时候还没学组原，可以看个乐子。对于两个二进制整数 $ a_ 1 $ 和 $ a_ 2 $，设其二进制补码均有 $ n $ 位，分别用 $ A_ 1 $ 和 $ A_ 2 $ 表示。如果把补码看作无符号二进制数，显然有: $$A_ i=\begin{cases} a_ i & a_ i\geq 0\\ 2^n+a_ i & a_ i < 0 \end{cases} \tag{1.1}$$ 其中 $ i=1,2 $，$ -2^{n-1}\leq a_ i\leq 2^{n-1}-1 $，且由式 $ (1.1) $ 也能推得 $ A_ i $ 是 $ a_ i $ 的补码.因此，下式是显然的：$$A_ i\equiv a_ i\pmod{2^n}\tag{1.2}(i=1,2)$$ 直接对 $ A_ 1 $ 和 $ A_ 2 $ 进行加法运算，如果产生进位则舍去（相当于减去了 $ 2^n $ ），如果记这样算得的和为 $ S $。将 $ S $ 视为无符号二进制数，那么 $$S\equiv A_ 1+A_ 2\pmod{2^n} \tag{1.3}$$ $$0\leq S\leq 2^n-1\tag{1.4}$$ 根据同余的性质，由式 $ (1.2)(1.3) $ 可得： $$S\equiv a_ 1+a_ 2\pmod{2^n} \tag{1.5}$$ 而在不发生溢出的前提下，$ a_ 1+a_ 2 $ 应仍然可以用 $ n $ 位补码表示，即有：$$-2^{n-1}\leq a_ 1+a_ 2\leq 2^{n-1}-1 \tag{1.6}$$ 综合式 $ (1.4) $ ~ $ (1.6) $ 发现，当 $ -2^{n-1}\leq a_ 1+a_ 2 < 0 $ 时，应有 $ S=a_ 1+a_ 2+2^n $；而当 $ 0\leq a_ 1+a_ 2\leq 2^{n-1}-1 $ 时，应有 $ S=a_ 1+a_ 2 $。即 $ S $ 与 $ a_ 1+a_ 2 $ 有以下关系成立： $$S=\begin{cases} a_ 1+a_ 2+2^n & a_ 1+a_ 2 < 0\\ a_ 1+a_ 2 & a_ 1+a_ 2\geq 0 \end{cases} \tag{1.7}$$ 式 $ (1.7) $ 与式 $ (1.1) $ 在形式上完全相符，因此我们所算得的 $ S $ 就是 $ a_ 1+a_ 2 $ 的结果的补码。反码计算的正确性也可以用同样的方法得证。
格雷码¶
然后说说格雷码（Gray Code）。感觉其重点在于二进制码与对应格雷码之间的相互转换。实际上只需要记住二进制码转化为格雷码（单向）的方式即可： $$G_ n=B_ n$$
$$G_ i=B_ {i+1}\oplus B_ i(i<n)$$ 某一位的格雷码，等于对位的二进制码与高位的二进制码的异或。格雷码转换为二进制码的公式可以依据异或的性质由上式反推。
关于异或的一些小性质
关于异或的一些小性质：
（1） $ A\oplus B=C\rightarrow $ $ B\oplus C=A $ 且 $ A\oplus C=B $。
（2）对应连续异或的式子如：$$A=A_ 1\oplus A_ 2\oplus …\oplus A_ n$$
$ A $ 可以看作是 $ A_ i(i=1,2,…,n) $ 的算数和（也就是不再看作布尔变量求和）模 $2$。