10 正弦稳态分析

正弦电量

  对于周期性电量 $ y(t) $（电压或电流），定义有效值为一个周期内瞬时值平方的平均值，即方均根值： $$y=\sqrt{\cfrac{1}{T}\int _ 0 ^Ty^2(t)\mathrm dt}\tag{10.1}$$

  课本上说这是均方根，但个人认为方均根更合适一点。

  如果 $ y(t) $ 是正弦电量，那么 $ y=\cfrac{y _ m}{\sqrt 2} $ 。

相量法

  正弦电量，例如 $ u=\sqrt 2U\cos(\omega t+\varphi) $，引入虚部后构成一个复数： $$\begin{aligned}\sqrt 2U[\cos(\omega t+\varphi)+\color{red}{\mathrm j\sin(\omega t+\varphi)}]&=\sqrt 2U\mathrm e^{\mathrm j(\omega t+\varphi)}\\&=\sqrt 2\color{red}{U}\mathrm e^{\mathrm j\omega t}\cdot\color{red}{\mathrm e^{\mathrm j\varphi}}\\ &=\sqrt 2\mathrm e^{\mathrm j\omega t}\color{red}{\dot U}\end{aligned}\tag{10.2}$$

   $ \dot U $ 含有正弦电量 $ u $ 的初相位信息，不含时域 $ t $ 的信息，被称为相量。

关于相量的表示和运算

  电路理论里面用 $ \mathrm j $ 表示虚数单位，可能是考虑到 $ i $ 在电路中表示电流，避免混淆。相量的引入，有些类似大学物理研究简谐振动时旋转矢量法的引入。旋转矢量在 $ y $ 轴上的投影和振动本身关系不大，只是利用了其在 $ x $ 轴上的投影。振动的叠加采用旋转矢量法，所以相量法也非常方便正弦电量的加减。
  相量的引入还优化了正弦电量的微分、积分运算。“相量的微分运算很简单”的说法实际上是错误的，因为我们根本没有对相量微分，相量的表达式中根本不含 $ t $ 。我们是将时域量 $ u(i) $ 的微分、积分运算，对应到相量 $ \dot U(\dot I) $ 的乘法、除法运算： $$\begin{aligned}\cfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}&\longleftrightarrow \mathrm j\omega\dot U\ \int u\mathrm dt&\longleftrightarrow \cfrac{\dot U}{\mathrm j\omega}\end{aligned}\tag{10.3}$$   相量到底是什么？我认为它是一个抽取了电量初态（即 $ t=0 $ 时）信息的量，由于正弦电路电量的变化是周期性的、有规律的，这个初态就足以表征电量的所有特征。

阻抗和导纳

  对于电感 $ L $ ，由相量的微分关系可得 $ \cfrac{\dot U _ L}{\dot I _ L}=\mathrm j\omega L $ ，其中的 $ \mathrm j $ 代表电压超前电流 $ \cfrac{\pi}{2} $ 。对比电阻 $ R=\cfrac{U}{I} $ ，我们记 $ X _ L=\omega L $ 为电抗，它和电阻一样表征阻止、抵抗电流的性质。电阻的倒数是电导，所以定义电抗的倒数电纳 $ B _ L=\cfrac{1}{\omega L} $ 。电容也可以相应地得到 $ X _ C=\cfrac{1}{\omega C} $ ， $ L _ C=\omega C $ 。
  电阻和电抗一样都能阻止、抵抗电流的性质，并且都具有 $ U/I $ 的形式，可以统一成阻抗： $$Z=\cfrac{\dot U}{\dot I}=R+\mathrm jX=|Z|\phase{\varphi _ Z}\tag{10.4}$$

  同理定义导纳： $$Y=\cfrac{\dot I}{\dot U}=G+\mathrm jB=|Y|\phase{\varphi _ Y}\tag{10.5}$$

  在引入阻抗和导纳后，直流电路的内容也可以搬到这里来使用。电压超前电流为感性，电流超前电压为容性。