11 正弦稳态电路的功率

瞬时功率¶

只有电阻在消耗功率。电阻和电感不会消耗功率，于是功率在储能元件和电源中反复交换。正因如此，电路消耗的瞬时功率 $ p(t) $ 会出现负值，这说明储能元件正在释放能量。
瞬时功率的表达式为 $$p(t)=UI\cos(\varphi _ u-\varphi _ i)+UI\cos(2\omega t+\varphi _ u+\varphi _ i)\tag{11.1}$$

有功功率与无功功率¶

有功功率¶

有功功率 $ P $ 定义为瞬时功率的平均值，也就是瞬时功率在一个周期内的平均值。根据式 $ (11.1) $ 得到有功功率： $$P=UI\cos(\varphi _ u-\varphi _ i)\tag{11.2}$$

有功功率（单位瓦，$ \mathrm W $），可以理解为电能中真正在做电功的那部分的消耗功率。$ P $ 同时也是网络中电阻消耗的平均功率，也就是电阻瞬时功率的平均值。

无功功率¶

无功功率定义为网络与电源往复交换功率的幅值。通过将网络等效为电阻 $ R $ 串联电抗 $ X $ 的模型，分析电抗 $ X $ 的瞬时功率，其最大值就是无功功率： $$Q=UI\sin(\varphi _ u-\varphi _ i)\tag{11.3}$$

无功功率（单位乏，$ \mathrm {var} $），本身不包含吸收或发出的功率，但还是人为约定电感吸收无功功率，电容发出无功功率。
如果已知经过等效电抗 $ X $ 的电流有效值为 $ I $，也可以根据 $ Q=I^2X $ 求它吸收的无功功率；已知它两端电压的有效值为 $ U $，也可以根据 $ Q=\cfrac{U^2}{X} $ 求无功功率。这和纯电阻电路的欧姆定律相似。

关于三种功率的量纲

乏（$ \mathrm{var} $）和瓦（$ \mathrm W $）量纲相同，以及视在功率单位 $ \mathrm{V\cdot A} $ 都具有相同的量纲。人为区分它们的单位，是为了仅在给出电路参数的情况下，就能根据单位判断它是哪一种功率。

视在功率和功率因数¶

视在功率与复功率¶

视在功率（单位伏安，$ \mathrm{V\cdot A} $），定义为负载消耗或电源提供的有功功率的上限，由于 $ P=UI\cos(\varphi _ u-\varphi _ i) $，所以，$ S=UI $。
复功率把这些功率综合在一起。 $$\overline S=P+\mathrm jQ\tag{11.4}$$

关于复功率

复功率 $ \overline S $ 的单位也是 $ \mathrm{V\cdot A} $，并且 $ |\overline S|=S $，即视在功率是复功率的模，也难怪都用字母 $ S $ 表示。

求复功率经常用到 $ \overline S=\dot U\dot I ^ * $ ，当然也可以根据已知条件对其进行变形，比如 $ \overline S=\cfrac{U^2}{\dot Z^ *} $ 或 $ \overline S=I^2Z $ 等。

功率因数¶

功率因数定义为有功功率与视在功率的比值： $$\lambda=\cfrac{P}{S}=\cos(\varphi _ u-\varphi _ i)=\cos\varphi\tag{11.5}$$

其中 $ \varphi=\varphi _ u-\varphi _ i $ 被称为功率因数角。电力系统由电压源供电，负载并联工作，负载电压基本恒定，因此习惯以电压为参考相量，电流滞后于电压（$ \cfrac{\pi}{2}\geq\varphi > 0 $）时称 $ \lambda $ 为滞后（或感性）功率因数，电流超前电压（$ -\cfrac{\pi}{2}\leq\varphi < 0 $）时称 $ \lambda $ 为超前（容性）功率因数。

瓦特表测量电路的有功功率。