12 三相正弦稳态电路
三相电路基本¶
三相电源¶
一般有两种连接方法。如果是星形连接，一般引出 $ \mathrm{A,B,C,N} $ 三个端；如果是三角形连接，一般引出 $ \mathrm{A,B,C} $ 三个端。
| 三相电源连接方式 | 三角形连接 | 星形连接 |
|---|---|---|
| $ u _ \mathrm A $ | $ u _ \mathrm {AN} $ | $ u _ \mathrm{AB} $ |
| $ u _ \mathrm B $ | $ u _ \mathrm{BN} $ | $ u _ \mathrm{BC} $ |
| $ u _ \mathrm C $ | $ u _ \mathrm{CN} $ | $ u _ \mathrm{CA} $ |
$ \varphi _ A-\varphi _ B=\varphi _ B-\varphi _ C=\varphi _ C-\varphi _ A=120^\circ $ 称为正序，$ -120^\circ $ 称为负序，电力系统中要求是正序的三相电源。
三相负载¶
同样有三角形负载和星形负载。对称三相负载的转换关系为： $$Z _ \Delta=3Z _ \mathrm Y\tag{12.1}$$
对称三相电路计算¶
三相电量¶
正序对称电路中线电量与相电量的关系为：
$ \mathrm Y $ 型连接，线电压 $ \dot U _ l $ 与对应相电压 $ \dot U _ p $ 的关系是 $ \dot U _ l=\sqrt 3\dot U _ p\phase{30^\circ} $，线电流与相电流是同一个电流。
$ \Delta $ 型连接，线电压与相电压是同一个电压，线电流 $ \dot I _ l $ 与对应相电流 $ \dot I _ p $ 的关系是 $ \dot I _ l=\sqrt 3\dot I _ p\phase{ -30^\circ} $ 。
不同连接方式下的线量与相量
线电压可以与相电流对应，因为对称三相电路中的电量有很好的轮换对称性质。约定正序对称电路的线量与相量对应关系： $ \dot U _ \mathrm {ab}\leftrightarrow \dot U _ \mathrm {an},\dot U _ \mathrm {bc}\leftrightarrow \dot U _ \mathrm {bn},\dot U _ \mathrm{ca}\leftrightarrow \dot U _ \mathrm{cn} $ 。
将 $ \dot U $ 换成 $ \dot I $，或是将 $ \mathrm{a,b,c} $ 换成 $ \mathrm{A,B,C} $ （负载侧换成电源侧），对应关系也成立。
对于电源侧，因为一般情况都是 $ \mathrm Y $ 型三相电源，所以电源侧的线电流和相电流就是同一个电流，一般只考虑电源侧的电压关系。对于负载侧，由于常见的接法两种都有，所以要按照负载侧的接法讨论线量和相量。
对称三相电路中，点 $ \mathrm N $ 与点 $ \mathrm n $ 的电势总是相等的。因此可以将 $ \mathrm{N,n} $ 短接，这是利用分相法计算对称三相电路的理论基础；也可以将 $ \mathrm{N-n} $ 断路，从而降低输电成本。
三相功率¶
设负载侧的相电压有效值 $ U _ p $，相电流有效值 $ I _ p $，那么
其中的 $ \varphi $ 是负载阻抗 $ Z $ 的阻抗角。由有功功率的定义，式 $ (12.2) $ 所表示的也是三相电路负载的有功功率： $$P=3U _ pI _ p\cos\varphi=\sqrt 3U _ lI _ l\cos\varphi\tag{12.3}$$
实际上也能得到三相电路负载的无功功率： $$Q=3U _ pI _ p\sin\varphi=\sqrt 3U _ lI _ l\sin\varphi\tag{12.4}$$
把三相分开来，分别算每一相的无功功率，每一相都是 $ U _ pI _ p\sin\varphi $。
同理得到三相负载电路的复功率和视在功率： $$\overline S=P+\mathrm jQ=3U _ pI _ p(\cos\varphi +\mathrm j\sin\varphi)=\sqrt 3U _ lI _ l(\cos\varphi +\mathrm j\sin\varphi)\tag{12.5}$$
$$S=|\overline S|=\sqrt{P^2+Q^2}=3U _ pI _ p=\sqrt 3U _ lI _ l\tag{12.6}$$
三相电路的复功率
由于我们是直接对负载的电压、电流分析得到一系列的功率，所以三相电路的复功率仍然可以用相电量表示为： $$\overline S=3\dot U _ p\dot I _ p^ * \tag{12.7}$$ 但是 $$\overline S\neq \sqrt 3\dot U _ l\dot I _ l^ * \tag{12.8}$$ 这是因为相量与对应的线量相比，除了模上有差距，相位也是有差距的。对于三角形负载，$ \dot U _ l=\dot U _ p $，$ \dot I _ l=\sqrt 3\dot I _ p\angle -30^\circ $，所以： $$\overline S _ \Delta=3\dot U _ p\dot I _ p^ * =3\dot U _ l(\cfrac{\dot I _ l}{\sqrt 3}\angle 30^\circ)^ * =\sqrt 3\dot U _ l\dot I _ l^ * \color{red}{\angle -30^\circ}\tag{12.9}$$ 对于星形负载，$ \dot U _ l=\sqrt 3\dot U _ p\angle 30^\circ $，$ \dot I _ l=\dot I _ p $，所以 $$\overline S _ \mathrm Y=3\dot U _ p\dot I _ p^ * =3\cfrac{U _ l}{\sqrt 3\angle 30^\circ}\dot I _ l^ * =\sqrt 3\dot U _ l\dot I _ l^ * \color{red}{\angle -30^\circ}\tag{12.10}$$ 所以三相电路的复功率用线量应表示为： $$\overline S=\sqrt 3\dot U _ l\dot I _ l^ * \color{red}{\angle -30^\circ}\tag{12.11}$$
三相电路有功功率的测量¶
可以用三个瓦特表分别测三相有功功率，适合对称和不对称的三相电路（所有电路）。
如果只用两个瓦特表，仅不适用于中线电流 $ I _ \mathrm n $ 非零的四线制电路。两个瓦特表的示数没有物理意义，可能出现负值，但是和 $ P _ 1+P _ 2 $ 为三相电路的总有功功率。在对称三相电路中，$ P _ 1,P _ 2 $ 还与电路的无功功率 $ Q $ 有联系。如果正序三相电路中 $ \mathrm W _ 1 $ 所在相的相位领先 $ \mathrm W _ 2 $ 所在相 $ 120^\circ $ 的话，就有：
$$Q=\sqrt 3(P _ 1-P _ 2)\tag{12.12}$$