14 正弦稳态电路的频率响应
传递函数与频率响应¶
随着输入信号频率 $ \omega $ 的变化，电路的工作状态也会变化。传递函数定义为正弦稳态电路中某个响应相量和激励相量之比： $$H(\omega)=\cfrac{\dot Y(\omega)}{\dot X(\omega)}\tag{14.1}$$
根据 $ |H(\omega)| $ 在高频、低频区的大小，可以将电路分为：
- 高通滤波器：对低频信号有抑制作用，即 $ \omega $ 小时 $ |H(\omega)| $ 小。
- 低通滤波器：对高频信号有抑制作用，即 $ \omega $ 大时 $ |H(\omega)| $ 小。
- 带通滤波器：在某一个角频率区间内 $ |H(\omega)| $ 比较大。
谐振电路¶
RLC 串联电路¶
RLC 串联电路的谐振（角）频率 $ \omega _ 0=\cfrac{1}{\sqrt{LC}} $，品质因数是： $$Q=\cfrac{\omega _ 0L}{R}=\cfrac{1}{\omega _ 0CR}=\cfrac{1}{R}\sqrt{\cfrac{L}{C}}\tag{14.2}$$
以 $ \dot U _ R $ 为响应，能够构造一个带通滤波器，其通带宽度为： $$B=\omega _ {c2}-\omega _ {c _ 1}=\cfrac{\omega _ 0}{Q}\tag{14.3}$$
关于品质因数 $Q$ 的定义
课本用 $ Q=\cfrac{U _ {L0}}{U _ S}=\cfrac{U _ {C0}}{U _ S} $ 引入品质因数 $ Q $。但我认为式 $ (14.3) $ 才是品质因数的最好体现，品质因数越大，带宽越小，滤波能力越强。
RLC 并联谐振电路¶
RLC 并联电路的谐振（角）频率和串联一样，品质因数： $$Q=\cfrac{\omega _ 0C}{G}=\cfrac{1}{\omega _ 0LG}\tag{14.4}$$
通带宽度同式 $ (14.3) $。
其他谐振电路¶
谐振，其实就是电流和电压一起振动，它们的相位相同。据此可以分析各种混联电路的谐振情况，也就是混联后阻抗 $ Z $（或者等价地，导纳 $ G $）
由式 $ (14.2) $ 和 $ (14.4) $ 看出，品质因数 $ Q $ 在不同电路里的定义是不同的，我摸索出了一个统一的定义： $ Q $ 是谐振电路中所有电感吸收的无功功率（或所有电容发出的无功功率）$ Q _ L $ 与电路消耗的有功功率 $ P _ R $ 之比。即：
$$Q=\cfrac{Q _ L}{P _ R}\tag{14.5}$$
关于式 $(14.5)$
式 $ (14.5) $ 是本人做了一些题后想到的经验公式，它能够解释 RLC 串联、并联电路的品质因数。以 RLC 串联电路为例： $$Q=\cfrac{\omega _ 0L}{R}=\cfrac{I^2X _ L(\omega _ 0)}{I^2 R}=\cfrac{IU _ L}{P _ R}=\cfrac{Q _ L}{P _ R}\tag{14.6}$$