7 电容、电感及动态电路
广义函数¶
单位阶跃函数¶
为了动态电路表示的需要，定义了一些特殊的函数。首先是单位阶跃函数： $$\varepsilon(t)=\begin{cases}1& t > 0,\\0&t < 0.\end{cases}\tag{7.1}$$
函数在 $ t=0 $ 处无定义，并且函数值在这里从 $ 0 $ 跳到 $ 1 $。阶跃函数有一些性质，比如 $ \varepsilon(t)+\varepsilon(-t)=1 $。可以拓展为对 $ t $ 的任意函数 $ f(t) $，有： $$\varepsilon(f(t))+\varepsilon(-f(t))=1\tag{7.2}$$
式 $ (7.2) $ 在这一章后面的计算、化简中经常会用到。
闸门函数¶
闸门函数的定义： $$G(t _ 1,t _ 2)=\begin{cases}1&t _ 1< t < t _ 2,\\0& t < t _ 1\mathrm{\ or\ }t > t _ 2.\end{cases}\tag{7.3}$$
关于闸门函数 $G$ 的写法
$ G(t _ 1,t _ 2) $ 其实是一种极致的简写，这样的写法甚至省略了自变量，只保留函数参数。一般闸门函数 $ G $ 的自变量就是 $ t $，也许写成 $ G(t,t _ 1,t _ 2) $ 更严谨一些。
在 $ t _ 1\leq t _ 2 $ 的情况下（一般不会跑出这种情况），$ G(t _ 1,t _ 2) $ 满足： $$G(t _ 1,t _ 2)=\varepsilon(t-t _ 1)-\varepsilon(t-t _ 2)=\varepsilon(t-t _ 1)\times\varepsilon(t _ 2-t)\tag{7.4}$$
为了避免高次项的出现，我们一般采用前一个等号。
闸门函数带 $\infty$ 的情况
我们可以定义这样的式子：$ \varepsilon(t+\infty)=\varepsilon(+\infty)=1,\varepsilon(t-\infty)=\varepsilon(-\infty)=0 $ 。这样可以获得闸门函数的两种特殊情况： $$\begin{aligned}G(-\infty,t _ 2)&=\varepsilon(t+\infty)-\varepsilon(t-t _ 2)=1-\varepsilon(t -t _ 2)=\varepsilon(t _ 2-t)\\ G(t _ 1,+\infty)&=\varepsilon(t-t _ 1)-\varepsilon(t _ 2-\infty)=\varepsilon(t-t _ 1)\end{aligned}\tag{7.5}$$ 定义这两个式子可以方便一些解题。比如将 $ u=\begin{cases}2&t < 0\\ -5&0 < t <1\\ 0& t > 1\end{cases} $ 写成广义函数，就可以这样： $$\begin{aligned}u&=2G(-\infty,0)-5G(0,1)+0G(1,+\infty)\\ &=2\varepsilon(-t)-5[\varepsilon(t)-\varepsilon(t-1)]+0\\ &=2\varepsilon(-t)-5\varepsilon(t)+5\varepsilon(t-1)\end{aligned}\tag{7.6}$$
单位冲激函数¶
单位冲激函数 $ \delta(t) $ 定义如下： $$\begin{cases}\begin{aligned}&\delta(t)=0,t\neq 0\\ &\int_ {-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm dt=1\end{aligned}\end{cases}\tag{7.7}$$
可以理解为函数在 $ x=0 $ 处取到了一个无穷大的值，$ \delta(t) $ 超出了普通函数的范畴。它和 $ \varepsilon(t) $ 之间的关系为： $$\begin{aligned}&\delta(t)=\cfrac{\mathrm d\varepsilon(t)}{\mathrm dt}&\varepsilon(t)=\int _ {-\infty}^t\delta(t)\mathrm dt\\ &\delta(t-t _ 0)=\cfrac{\mathrm d\varepsilon(t-t _ 0)}{\mathrm dt}&\varepsilon(t-t _ 0)=\int _ {-\infty}^t\delta(t-t _ 0)\mathrm dt\end{aligned}\tag{7.8}$$
广义函数的运算¶
根据式 $ (7.8) $，可以比较容易地对具有 $ \varphi(t)\varepsilon(t-t _ 0) $ 形式的函数进行微分。一般不涉及到冲激函数 $ \delta(t) $ 的微分。
冲激函数的
依据式 $ (7.9) $ 可以进行具有 $ \varphi(t)\delta(t-t _ 0) $ 形式的函数进行积分： $$\int _ a^bf(t)\delta(t-t _ 0)\mathrm dt=\int _ a^bf(t _ 0)\delta(t-t _ 0)\mathrm dt=f(t _ 0)\int _ a^b\delta(t-t _ 0)\mathrm dt\tag{7.10}$$
对具有 $ \varphi(t)\varepsilon(t-t _ 0) $ 形式的函数进行的积分： $$\int _ {-\infty}^t\varphi(t)\varepsilon(t-t _ 0)\mathrm dt=\varepsilon(t-t _ 0)\int _ {t _ 0}^t\varphi(t)\mathrm dt\tag{7.11}$$
电容¶
储存电场能量的元件，$ q=Cu $。其 $ u-i $ 关系： $$\begin{aligned}& i=\cfrac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=\cfrac{\mathrm d(Cu)}{\mathrm dt}=C\cfrac{\mathrm du}{\mathrm dt}\\ & u(t)=u(0 _ -)+\cfrac{1}{C}\int _ {0 _ -}^ti\mathrm dt\end{aligned}\tag{7.12}$$
电容串联¶
$ n $ 个电容为 $ C _ k $，初始电压为 $ u _ {k0}(k=1,2,\cdots ,n) $ 的电容器，按照相同电压方向串联，得到一个电容为 $ C _ \mathrm{eq} $，初始电压为 $ u _ 0 $ 的等效电容： $$u _ 0=\sum _ {k=1}^nu _ {k0}\qquad \cfrac{1}{C _ \mathrm{eq}}=\sum _ {k=1}^n\cfrac{1}{C _ k}\tag{7.13}$$
如果等效电容两端的电压变为 $ u^{\prime} $，那么电压的变化量 $ \Delta u=u^\prime -u _ 0 $ 以电容的倒数为权重，分给这 $ n $ 个电容： $$u _ k^\prime=u _ {k0}+\Delta u _ k=u _ {k0}+(u^\prime-u _ 0)\cfrac{C _ k^{-1}}{\sum\limits _ {l=1}^nC _ l^{-1}}\tag{7.14}$$
电容并联¶
$ n $ 个电容为 $ C _ k $，初始电压为 $ u _ {k0}(k=1,2,\cdots,n) $ 的电容器，按照相同电压方向并联，得到一个电容为 $ C _ {eq} $，初始电压为 $ u _ 0 $ 的等效电容： $$C _ \mathrm{eq}=\sum _ {k=1}^nC _ k\tag{7.15}$$
如果各个电容的初始电压相等，那么它们就等于 $ u _ {k0} $ .如果不是全部相等，在并联的一瞬间会产生冲击电流，使得电压统一为 $ u _ 0 $： $$u _ 0=\cfrac{\sum\limits _ {k=1}^nC _ ku _ {k0}}{\sum\limits _ {k=1}^nC _ k}\tag{7.16}$$
关于式 $(7.16)$ 的解读
形式上，$ u _ 0 $ 是 $ u _ {k0} $ 以 $ C _ k $ 为权的加权平均值，也即各个电容的初始电压以电容为权的加权平均值。冲击电流带来的是电容极板上电荷量 $ q $ 的瞬间重新分配,冲击前后电容极板上电荷守恒 $ \sum q=\sum Cu=\mathrm{Const} $ 。
电感¶
储存磁场能量的元件，$ \varPsi=Li $ 。其 $ u-i $ 关系： $$\begin{aligned}&u=\cfrac{\mathrm d\varPsi}{\mathrm dt}=\cfrac{\mathrm d(Li)}{\mathrm dt}=L\cfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}\\ &i(t)=i(0 _ -)+\cfrac{1}{L}\int _ {0 _ -}^tu\mathrm dt\end{aligned}\tag{7.17}$$
关于式 $(7.17)$ 的注意事项
法拉第电磁感应定律指出，$ \mathscr E _ i=-\cfrac{\mathrm d\varPsi}{\mathrm dt} $ 。但是式 $ (7.17) $ 中没有负号。这是因为，感应电动势 $ \mathscr E _ i $ 的方向是从低电势指向高电势；而电路理论中 $ u $ 的方向是压降的方向，从高电势指向低电势。
电感并联¶
$ n $ 个电感为 $ L _ k $，初始电流为 $ i _ {k0}(k=1,2,\cdots,n) $ 的电感器，按照相同电流方向并联得到一个电感位 $ L _ \mathrm{eq} $，初始电流为 $ i _ 0 $ 的等效电感： $$i _ 0=\sum _ {k=1}^ni _ {k0}\qquad \cfrac{1}{L _ \mathrm{eq}}=\sum _ {k=1}^n\cfrac{1}{L _ k}\tag{7.18}$$
如果通过等效电感的电流变为 $ i^\prime $，那么电流的变化量 $ \Delta i=i^\prime-i _ 0 $ 以电感的倒数为权重，分给这 $ n $ 个电感： $$i _ k^\prime=i _ {k0}+\Delta i _ k=i _ {k0}+(i^\prime-i _ 0)\cfrac{L _ k^{-1}}{\sum\limits _ {l=1}^nL _ l^{-1}}\tag{7.19}$$
电感串联¶
$ n $ 个电感位 $ C _ k $，初始电压为 $ i _ {k0}(k=1,2,\cdots,n) $ 的电感器，按照相同电流方向串联，得到一个电感为 $ L _ {eq} $，初始电流为 $ i _ 0 $ 的等效电感： $$L _ \mathrm{eq}=\sum _ {k=1}^nL _ k\tag{7.20}$$
如果各个电感的初始电流相等，那它们就等于 $ i _ 0 $ .如果不是全部相等，在串联的一瞬间会产生冲击电压，使得电流统一为 $ i _ 0 $： $$i _ 0=\cfrac{\sum\limits _ {k=1}^nL _ ki _ {k0}}{\sum\limits _ {k=1}^nL _ k}\tag{7.21}$$
关于式 $(7.21)$ 的解读
形式上，$ i _ 0 $ 是 $ i _ {k0} $ 以 $ L _ k $ 为权的加权平均值，也即各个电感的初始电流以电感为权的加权平均值。冲击电压带来的是电感内磁链 $ \varPsi $ 的瞬间重新分配，冲击前后电感中磁链守恒 $ \sum \varPsi=\sum Li=\mathrm{Const} $ 。
相比于电荷守恒，磁链守恒可能没有那么直观，理解起来稍微困难一些。
动态电路暂态分析¶
列写微分方程，根据初值条件得到唯一解。微分方程的阶数为电路中独立储能元件个数。
储能元件不独立的条件
两个储能元件不独立，一般具备以下条件：
1. 元件类型相同。比如说都是电容，或者都是电感。
2. 两个元件串联或者并联。
其实也就是两个元件可以“合成”一个等效元件。如果电感 $ L _ 1 $ 与一个电阻 $ R $ 先串联后，再与 $ L _ 2 $ 并联，那也是两个独立储能元件。如果实在判断不了，就直接列微分方程；每个元件的微分方程阶数未必相等，但阶数最高的那个等于电路的阶数。
两个元件不独立，也有可能是其它因素对它们造成了约束。
初值条件是 $ t=0 _ + $ 时各个量的值。一般情况是连续换路，对于电容有 $ u(0 _ +)=u(0 _ -) $，对于电感有 $ i (0 _ +)=i (0 _ -) $，根据电路定理求出电路在 $ t=0 _ + $ 时的各电压、电流值。如果求微分值，一般需要进行转换：
- 电容 $ C $ 的 $ \cfrac{\mathrm du _ C}{\mathrm dt} $，根据 $ i=C\cfrac{\mathrm du}{\mathrm dt} $ 转化为求 $ i _ C $ .
- 电感 $ L $ 的 $ \cfrac{\mathrm di _ L}{\mathrm dt} $，根据 $ u=L\cfrac{\mathrm di}{\mathrm dt} $ 转化为求 $ u _ L $ .
- 电容 $ C $ 的 $ \cfrac{\mathrm di _ C}{\mathrm dt} $，用电容本身的电压 $ u _ C $ 或某个电感的 $ i _ L $ 表示 $ i _ C $，转化为情况1或2求解。
- 电感 $ L $ 的 $ \cfrac{\mathrm du _ L}{\mathrm dt} $，用电感本身的 $ i _ L $ 或某个电容的 $ u _ C $ 表示 $ u _ L $，转化为情况1或2求解。
- 二阶及以上微分，一层层来。