8 一阶电路暂态分析
分析方法¶
暂态电路中如果只有一个独立储能元件（一阶电路），其分析会方便很多，也能够总结出一些技巧。
零输入响应（自然响应）、零状态响应（阶跃响应）都可以看作是全响应的特殊情况，因而可以都使用三要素法。电路中的任何响应（电压或电流）$ y $ 都按照式 $ (8.1) $ 变化。
$$y(t)=y(\infty)+[y(0 _ +)-y(\infty)]\mathrm e^{-\frac{t}{\tau}}\tag{8.1}$$
简单来说，也就是响应 $ y $ 从初始值 $ y(0 _ +) $ 按指数规律渐近到 $ y(\infty) $。其中的 $ \tau $ 是电路的时间常数。先将储能元件外的电路等效为戴维南支路，其等效电阻为 $ R _ \mathrm{eq} $。对于储能元件是电容的电路，$ \tau=R _ \mathrm{eq}C $；对于储能元件是电感的电路，$ \tau=\cfrac{L}{R _ \mathrm{eq}} $。
一阶电路的初末值及稳态条件
初值 $ y(0 _ +) $ 求法在第七章，稳态 $ y(\infty) $ 在稳态电路图中求。对于所有的一阶电路来说，暂态持续 $ 5\tau $ 后，认为达到了稳态。
全响应还可以看作是
一些分量¶
式 $ (8.1) $ 中，$ [y(0 _ +)-y(\infty)]\mathrm e^{-\frac{t}{\tau}} $ 是暂态分量，因为指数使其随时间衰减为 $ 0 $，只能暂时存在。它也是自由分量，在电源强制稳住电容（或电感）之前，允许电容（或电感）自由发挥一会。
$ y(\infty) $ 是稳态分量，因为响应最终会稳定在这个值。它也是强制分量，是电源强制响应收敛到这个值的。
线性非时变特性¶
一般见到的由独立电源、电阻、储能元件构成的电路，都是线性非时变电路。它们的零状态响应有两个性质。
线性特性：若 $ x _ 1(t) $ 激励下的零状态响应为 $ y _ 1(t) $，$ x _ 2(t) $ 激励下的零状态响应为 $ y _ 2(t) $，则 $ k _ 1x _ 1(t)+k _ 2x _ 2(t) $ 激励下的零状态响应为 $ k _ 1y _ 1(t)+k _ 2y _ 2(t) $ 。
关于这里的线性特性
线性特性中的响应 $ y(t) $ 与 $ (8.1) $ 式中的有些许不同，一般只考虑电容、电感的响应。同时，线性特性适用于时变独立电源。后面的非时变特性也是这样的。
非时变特性：若 $ x(t) $ 激励下的零状态响应为 $ y(t) $，则 $ x(t-t _ 0) $ 激励下的零状态响应为 $ y(t-t _ 0) $ 。
微分特性与积分特性：若 $ x(t) $ 激励下的零状态响应是 $ y(t) $，则 $ \cfrac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} $ 激励下的零状态响应是 $ \cfrac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt} $，$ \displaystyle\int _ {0 _ -}^tx(t)\mathrm dt $ 激励下的零状态响应是 $ \displaystyle\int _ {0 _ -}^ty(t)\mathrm dt $ 。
微分特性、积分特性的实用之处
这个性质实用的一点在，我们可以根据阶跃电源（如 $ u _ S\varepsilon(t) $）下的零状态响应，求冲击电源（对应的，$ u _ S\delta(t) $）下的零状态响应。